№49 Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее тремя методами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы). Дано:
:
Решение Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Необходимым и достаточным условием совместности системы линейных уравнений является Критерий Кронекера–Капелли. Для того чтобы линейная система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы. Если же эти ранги не равны, то система несовместна. Исследование на совместность по критерию Кронекера-Капелли:
Для этого составим расширенную матрицу системы для определения её ранга и ранга матрицы коэффициентов:
. Находим ранг r расширенной матрицы: . Отсюда , следовательно данная линейная система совместна. 1) Решить систему уравнений по формулам Крамера:
Решение Составим матрицу коэффициентов (основную матрицу системы) и найдем её определитель: . Так как определитель отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Вычисляем определители ; ; , которые составляем из матрицы коэффициентов путем поочередной замены каждого из столбцов на столбец правой части системы. Далее по формулам Крамера вычисляем:
Таким образом, система имеет единственное решение , , . 2) При решении системы линейных уравнений методом Гаусса действия производятся над расширенной матрицей.
Решение Составим расширенную матрицу системы: . Теперь приведём её путём элементарных преобразований к треугольному или трапециевидному виду. Для этого прибавим ко 2 й строке 1 ю, умноженную на , к 3 й строке прибавим 1 ю, умноженную на Получим: .
К 3 й строке прибавим 2 ю, умноженную на -4/7 получим
Таким образом, ранги основной и расширенной матриц равны 3. Система совместна и имеет единственное решение. Она сводится к эквивалентной системе линейных уравнений
Отсюда, подставляя во второе уравнение, получим , а из первого уравнения . Итак, , , . 3) применение матричного метода рассмотрим на примере системы
Решение Определитель основной матрицы системы , значит, система совместна и для матрицы коэффициентов существует обратная матрица. Находим решение по формуле или , где , алгебраические дополнения элементов матрицы А:
Таким образом, обратная матрица к основной матрице системы имеет вид . Значит, матричное решение системы имеет вид
Отсюда следует, что , , .
№59 Найти общее решение системы линейных уравнений. Дано:
Решение Для исследования совместности составим расширенную матрицу системы: . ~ ~ ; Следовательно, х2=0. Тогда система примет вид
Отсюда:
Общее решение системы:
Ответ:
№69
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
Решение Составляем характеристическое уравнение матрицы А и находим его корни:
Это и есть собственные значения линейного преобразования. Так как все корни оказались действительными числами, то они являются собственными значениями матрицы А. При система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор , здесь – произвольное число ≠0. Положив =1 получим . При
. При
, при x1=1 .
№79 Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить её в декартовой системе координат. . Решение: Разделим уравнение на 4, получим:
Составим матрицу квадратичной формы и найдём её собственной значение
При уравнение ; . Собственный вектор . При
. Нормируя собственные векторы, получим , .
Матрица перехода к новому базису .
Введём замену переменных: ; Подставим эти выражения в исходное уравнение кривой:
Уравнение гиперболы симметричной относительно точки