:

Решение
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Необходимым и достаточным условием совместности системы линейных уравнений является
Критерий Кронекера–Капелли. Для того чтобы линейная система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы. Если же эти ранги не равны, то система несовместна.
Исследование на совместность по критерию Кронекера-Капелли:

Для этого составим расширенную матрицу системы для определения её ранга и ранга матрицы коэффициентов:

.
Находим ранг r расширенной матрицы:
.
Отсюда , следовательно данная линейная система совместна.
1) Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Решение
Составим матрицу коэффициентов (основную матрицу системы) и найдем её определитель:
.
Так как определитель отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Вычисляем определители
; ; ,
которые составляем из матрицы коэффициентов путем поочередной замены каждого из столбцов на столбец правой части системы.
Далее по формулам Крамера вычисляем:

Таким образом, система имеет единственное решение , , .
2) При решении системы линейных уравнений методом Гаусса действия производятся над расширенной матрицей.

Решение
Составим расширенную матрицу системы: .
Теперь приведём её путём элементарных преобразований к треугольному или трапециевидному виду. Для этого прибавим ко 2 й строке 1 ю, умноженную на , к 3 й строке прибавим 1 ю, умноженную на Получим: .

К 3 й строке прибавим 2 ю, умноженную на -4/7 получим

Таким образом, ранги основной и расширенной матриц равны 3. Система совместна и имеет единственное решение. Она сводится к эквивалентной системе линейных уравнений

Отсюда, подставляя во второе уравнение, получим , а из первого уравнения . Итак, , , .
3) применение матричного метода рассмотрим на примере системы

Решение
Определитель основной матрицы системы , значит, система совместна и для матрицы коэффициентов существует обратная матрица. Находим решение по формуле или
,
где , алгебраические дополнения элементов матрицы А:



Таким образом, обратная матрица к основной матрице системы имеет вид
.
Значит, матричное решение системы имеет вид

Отсюда следует, что , , .

№59
Найти общее решение системы линейных уравнений.
Дано:

Решение
Для исследования совместности составим расширенную матрицу системы:
.
~ ~ ;
Следовательно, х2=0.
Тогда система примет вид

Отсюда:

Общее решение системы:

Ответ:

№69

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

Решение
Составляем характеристическое уравнение матрицы А и находим его корни:

Это и есть собственные значения линейного преобразования.
Так как все корни оказались действительными числами, то они являются собственными значениями матрицы А.
При система имеет вид:

Значит, собственному значению соответствует собственный вектор
,
здесь – произвольное число ≠0.
Положив =1 получим
.
При


.
При

, при x1=1
.

№79
Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить её в декартовой системе координат.
.
Решение:
Разделим уравнение на 4, получим:

Составим матрицу квадратичной формы
и найдём её собственной значение

При уравнение ;
.
Собственный вектор .
При

.
Нормируя собственные векторы, получим
, .

Матрица перехода к новому базису
.

Введём замену переменных:
;
Подставим эти выражения в исходное уравнение кривой:





Уравнение гиперболы симметричной относительно точки