№9 Даны четыре вектора , , и , заданные в декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Дано: ; ; ; . 1) Найдём значение в скобках : умножаем координаты вектора (-2; 5; 2) на 2 и от полученного вектора 2 (-4; 10; 4) отнимаем координаты вектора (0; 1; -2). В результате получим 2 - = (-4; 10; 4). Так как скалярное произведение в ортогональном базисе ровно сумме произведений соответствующих координат, то получается . 2) По аналогии с пунктом 1 найдём значение вектора
Тогда векторное произведение найдём по формуле
: 3) Базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов, заданных в декартовой системе координат, является равенство их смешанного произведения нулю. Отсюда находим:
Значит векторы некомпланарны и поэтому они образуют базис. Составим систему уравнений в координатном виде:
где координаты вектора в базисе , и найдём . Определитель найден выше: . ;
Имеем: ; ; . Значит, .
№19 Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) уравнение прямой ; 3) угол между рёбрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертёж. Дано: ; ; ; . 1) Длина ребра численно равна расстоянию между точками и , которое в декартовой системе координат вычисляется по формуле , где координаты точки , координаты точки . Таким образом, вычисляем: .
2) Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки . Тогда . В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Они могут быть записаны и в виде или т.е. уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей. 3) Угол между рёбрами и вычисляется по формуле из скалярного произведения векторов и . Находим: ; ; ; ; . Поэтому , .
4) Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой , где координаты точки , координаты точки , координаты точки . .
5) Угол между ребром и плоскостью – это угол между вектором и его ортогональной проекцией на грань .
Вектор перпендикулярен грани , что вытекает из определения векторного произведения векторов и Вектор перпендикулярен грани , что вытекает из определения векторного произведения векторов и : Здесь , . Как и в пункте 3, находим:
Отсюда получаем, что . 6) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой , где точка, лежащая на искомой прямой; координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. . Имеем . 7) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения: . 8) Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , , которое находится по формуле . Таким образом, . 9) Сделаем чертёж:
№29 Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой . Решение Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно прямой L, т.е. нормальный вектор Р есть : . Решив совместно уравнения L и Р, получим точку N пересечения L с Р: . Но так как N –середина отрезка , то . Таким образом, точка М имеет координаты .
№39 Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки вдвое дальше, чем от прямой . Решение
Пусть точка M (x;y) лежит на данной линии (рис.1), тогда расстояние от М до прямой x=1 равна , а до точки A:
