1. Даны векторы a(a1; a2; a3), b(b1; b2; b3), c(c1; c2; c3) и d(d1; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
a (4;5;2), b (3;0;1), c (-1;4;2), d (5;7;8).
Векторы a, b, c образуют базис в пространстве R3 в том случае, если равенство a + b + c = 0 выполняется лишь тогда, когда  =  =  = 0.
Рассмотрим это условие:
(4;5;2) + (3;0;1) + (-1;4;2) = (0;0;0) или

Рассмотрим матрицу данной системы и приведем ее к треугольному виду:
Умножим первую строку на -5, вторую на 4 и сложим их, умножим третью строку на -2 и сложим с первой ; умножим третью строку на 15 и сложим со второй строкой .
Так как число ненулевых строк в треугольной матрице равно числу переменных, то система имеет единственное решение, а именно  =  =  = 0. Значит, векторы a, b, c образуют базис. Вектор d в базисе a, b, c имеет вид:
1a + 1b + 1c = d.
В расширенном виде:

Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (см. предыдущие действия):

Получим систему:
Значит, вектор d в базисе a, b, c имеет координаты d(-1;4;3).

11. Даны координаты вершины пирамиды А1А2А3А4 .Найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
4) площадь грани А1А2А3;
5) объём пирамиды;
6) уравнение прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1А2А3;
8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3;
Сделать чертёж.
А1(3;1;4), А2(-1;6;1),А3(-1;1;6), А4(0;4;-1)
1) Длина ребра А1А2 равна расстоянию между этими точками, которое находится по формуле : А

2) Угол между рёбрами А1А2 и А1А4 равен углу между векторами А1А2 и А1А4. Найдём координаты этих векторов.
А1А2 =(-1-3;6-1;1-4)=(-4;5;-3)
А1А4=(0-3;4-1;-1-4)=(-3;3;-5)
Тогда, если φ угол между векторами А1А2 и А1А4, то

Тогда
3) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 найдём следующим образом: для начала узнаем уравнение грани А1А2А3, затем выпишем нормальный вектор этой грани, найдём угол между нормалью к грани А1А2А3 и вектором А1А4. Тогда искомый угол между гранью А1А2А3 и вектором А1А4 есть разность 900 и полученного последнего угла.
Уравнение плоскости А1А2А3 получим как уравнение плоскости, проходящей через три точки, а именно
или

Значит, нормальный вектор будет иметь координаты N=(1;2;2). Найдём угол между нормалью к грани А1А2А3 и вектором А1А4.

Тогда
Значит, угол между гранью А1А2А3 и вектором А1А4 равен 20,80.
4) Найдём координаты векторов А1А2 и А1А3.
А1А2 =(-1-3;6-1;1-4)=(-4;5;-3)
А1А3=(-1-3;1-1;6-4)=(-4;0;2)
Тогда площадь грани А1А2А3 будет равна
ед2
5) Объём треугольной пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на рёбрах А1А2 , А1А3, А1А4. Тогда
(ед3)
6) Уравнение прямой А1А2 имеет вид: , где (x0;y0;z0 ) – координаты точки, через которую проходит прямая, а (l;m;n) – координаты направляющего вектора. За координаты (x0;y0;z0 ) можно выбрать координаты точки А1, а за направляющий вектор взять вектор А1А2. Тогда получим:
– уравнение прямой А1А2 в симметричном виде.
7) Уравнение плоскости А1А2А3 было найдено в пункте 3), а именно
– уравнение плоскости в нормальном виде.
8) Высота, опущенная из вершины А4 на грань А1А2А3 имеет своим направляющим вектором нормальный вектор плоскости А1А2А3 , а значит
- уравнение высоты в симметричном виде.
Сделаем чертёж.

21. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(2;2) и от оси абсцисс.
Пусть M(x;y) – произвольная точка искомой кривой. Найдем нужные расстояния:
d = = – расстояние от точки А(3;0) до произвольной точки кривой;
d = = = – расстояние от произвольной точки кривой до оси ординат. Тогда
или ;

Это парабола с центром в точке (2;1).

31. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

1) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= [поменяем местами первую и третью строки]= = [умножаем первую строчку на -2 и складываем со второй, умножаем первую на -3 и складываем с третьей ] = = [умножаем третью строку на 14, вторую на -11 и складываем их] =
Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:
.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.
Тогда получим систему:

Тогда получим решение:
x3 = 3; x2 = -1; x1 =2.
2) Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение: AX = B, где A = , X = , B = .
Тогда X = A-1B.

Вычислим обратную матрицу .



Тогда A-1 =
Получим X = A-1B = = = .

41. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений

Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= [умножаем первую строчку на -2 и складываем со второй, умножаем первую на -1 и складываем с третьей] = = [ складываем вторую строку с третьей] = .
Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 2. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:
.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 2. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.
Тогда получим систему:

Пусть х3=t, х4=s тогда получим решение:
х4=s, x3 = t; x2 = ; x1 = .

51. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матриц.

Характеристическое уравнение имеет вид:

1=-1, 2=1, 3=2 – собственные значения линейного преобразования.
Для 1=-1 найдём собственный вектор.

Собственный вектор для 1=-1 имеет вид (9t;-3t;t), где t– любое число.
Для 2=1 найдём собственный вектор.

Собственный вектор для 2=1 имеет вид (8s;-2s;s), где s– любое число.
Для 3=2 найдём собственный вектор.
.
Собственный вектор для 3=2 имеет вид (m;0; 0), где m– любое число.

61. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм

Запишем данное уравнение в виде:
Найдём матрицу Т ортогонального оператора, приводящего данную квадратичную форму к каноническому виду.
Запишем характеристическую матрицу:

Её корнями являются значения 1=1, 2=6.
Для 1=1 найдём собственный вектор.
, где t – любое число.
Собственный вектор-столбец для 1=1 имеет вид . Тогда