Контрольная работа №2
Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
52. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

.
Решение.
1. При решении системы методом Гаусса действия производятся над расширенной матрицей


с целью приведения ее путем элементарных преобразований к треугольному или трапециевидному виду. Для этого прибавим ко 2-й строке 1-ю,
умноженную на ( - 5), к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на (- 2), получим

прибавим к 3-й строке 2-ю, умноженную на ( -7), получим

Таким образом, ранги основной и расширенной матриц равны 3. Система имеет единственное решение. Она сводится к системе

Отсюда, подставляя во второе уравнение, получим ,а из первого уравнения .Итак, , , .
2. Для решения этой задачи матричным способом, находим определитель системы

Следовательно, находим решение по формуле или

, где , - алгебраические

дополнения элементов матрицы А :



Проверим правильность вычисления обратной матрицы

исходя из определения обратной

матрицы

Значит, матричное решение системы имеет вид:

Откуда следует, что

62. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

Решение. Так как система уравнений состоит из трех уравнений с четырьмя неизвестными то дополним его уравнением вида ,
Следовательно система примет вид:

Находим ранг основной матрицы системы с помощью элементарных преобразований:

Так как ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевые решения. Размерность пространства решений этой системы
. Преобразованная система, эквивалентная исходной, имеет вид

Эти формулы дают общее решение. В векторном виде его можно записать следующим образом

где произвольные числа. Векторы-столбцы ,

и образуют базис пространства решений

данной системы. Полагая , и ,где
произвольные постоянные, получим общее решение в векторном виде:

72. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через .

Решение. Первое линейное преобразование

имеет матрицу ,

второе имеет матрицу .

Тогда произведение линейных преобразований имеет матрицу , т.е.

поэтому искомое линейное преобразование имеет вид

82. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

А =

Решение. Составляем характеристическое уравнение матрицы

,

что соответствует откуда
При система примет вид:

Таким образом, числу соответствует собственный вектор

где - произвольное действительное число. В частности, при

имеем .

Аналогично для имеем , здесь

D – множество действительных чисел. Следовательно .

92 . Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.

Решение. Левая часть уравнения представляет собой квадратичную форму с

матрицей . Решаем характеристическое уравнение

Найдем собственные векторы, имея две системы:

Нормировав эти векторы, запишем их координаты в столбцы, составив матрицу :

С помощью матрицы T записываем искомое ортогональное преобразование

Это преобразование приводит данную квадратичную форму к каноническому виду

Последнее уравнение есть каноническое уравнение эллипса.