Задание 2
Даны координаты вершин пирамиды . Найти:1) длину ребра ; 2) угол между ребрами ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.
17.
Решение:
=(3-5;8-5;4-4)=(-2;3;0)
=(3-5;5-5;0-4)=(-2;0;6)
=(5-5;8-5;2-4)=(0;3;-2)
1) Длина ребра

2) Угол φ

3) Угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани





4) Площадь грани

5) Объем пирамиды

6) Уравнения прямой


7) Уравнение плоскости

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины на грань
вектор нормальный к плоскости (3;2;1)
- каноническое уравнение.
9) Чертеж

Задание 3
27. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А(0,1) вдвое меньше расстояния от прямой у=4.
Решение:
А(0,1), y=4


По условию
MB=2MA





- гипербола с большими полуосями:
Ответ:

Задание 4
Доказать совместимость данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления:

Решение:
1) Рассмотрим расширенную матрицу

Ранг основной матрицы и расширенной равны 3. система имеет единственное решение:



2) средствами матричного исчисления:

Задание 5
Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений:

Решение:

Так как ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевые решения. Размерность пространства решений этой системы n - r =2

Базис пространства решений данной системы

Задание 6
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Решение:

Находим собственные векторы:



Собственные значения
Собственный вектор

Задание 7
Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм:
67.
Решение:
Квадратичная форма с матрицей А=
Рассмотрим характеристическое уравнение:


Находим собственные вектора:

Номеруем собственные вектора:

Матрица перехода от старого базиса к новому:

Выполняем преобразование:







- эллипс с большими полуосями

Задание 8
Построить график функции y=f(x) преобразованием графика функции y=cos x:
77.
Решение:

График сжат в 2/3 раза, отражен относительно оси ОХ, период сжат в 3 раза и начало сдвинуто на -2/3 радиан.

Задание 9
Дана функция r=f(x) на отрезке 0≤φ≤2π. Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая φ значения через промежуток π/8, начиная от φ=0; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.

Решение:

1)

0

r 5 3,6 2,9 2,6 2,5 2,6 2,9 3,6 5 8,1 17,1 66 ∞ 66 17,1

r 8,1 5

2) ,

- парабола.
3) Рисунок:

Задание 10
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
Решение:
а)
б)
в)
г)

Задание 11
Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого пиз данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
Решение:
,
Функция в т. - непрерывна, т.к. и - непрерывны в этой точке
т. - точка разрыва

Значит - точка разрыва второго рода

Задание 12
Задана функция y=f(x) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
117.
Решение:
Функция sinx , непрерывна на (-∞; 0), функция х , непрерывна на [0; 2].
Исследуем f(x) в точке х=0

- y в точке - непрерывна
Исследуем f(x) в точке х=2

Точка - точка разрыва I рода.

Литература:
Беклемишев Д. В Курс аналитической геометрии и линей¬ной алгебры.— 4:е изд., переработ.— М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.—336 с.