Введение Предметом изучения дисциплины «Математические основы теории систем» являются математические модели систем и элементов систем и основы методов их исследования. В процессе изучения данной дисциплины мы изучаем математические модели и методы исследования линейных систем и элементов систем, описываемых обыкновенными дифференциальными и конечно-разностными уравнениями; изучаем методы конечномерной оптимизации, алгоритмы математического программирования, элементы теории оптимизации управления. Задача данной курсовой работы заключается в рассмотрении математических методов описания, анализа и синтеза, а так же прикладных возможностей методов оптимизации и того, в каких случаях и какие методы следует применять для того или иного класса экстремальных задач. Курсовая работа включает в себя три раздела, соответствующих изучаемым разделам дисциплины: исследование системы управления, линейное и нелинейное программирование. В первом разделе, посвященном исследованию системы управления, для динамической системы, заданной передаточной функцией, нужно определить временные и частотные характеристики, записать уравнения состояния в нормальной и канонической формах. Получить аналитическое представление процессов в системе при указанных входных воздействиях. Во втором разделе, посвященном линейному программированию, необходимо рассчитать оптимальный план и экстремальное значение функции цели, решив задачу линейного программирования, составить задачу, двойственную к исходной, решить ее и сравнить решения прямой и двойственной задач. Найти целочисленное решение одной из задач. В третьем разделе, посвященном нелинейному программированию, необходимо исследовать на экстремум нелинейную функцию методом наискорейшего спуска и методом Ньютона — Рафсона, произвести сравнительную оценку результатов, полученных в ходе решения. Найти экстремум функции с учетом системы ограничений методами Куна-Таккера, допустимых направлений Зойтендейка и методом линейных комбинаций. 1 Исследование систем управления 1.1 Вычисление и построение в Matlab временных характеристик систем Передаточная функция системы W(s) – отношение изображения выходного сигнала к входному сигналу при нулевых начальных условиях. Передаточная функция имеет вид: W(s)=(320s+160)/(s^3+11s^2+38s+40). (1.1) Характеристическое уравнение системы определяется знаменателем передаточной функции и имеет вид: D(s)=s^3+11s^2+38s+40. (1.2) Найдем корни характеристического уравнения:
s_1=-2. s^3 + 11s^2 + 38s + 40 s+2 s^3 + 〖2s〗^2 s^2+9s+20 9s^2 + 38s 9s^2 + 18s 20s + 40 20s + 40 0 s_2+s_3=-9;s_2∙s_3=20 s_2=-5;s_3=-4 D(s)=(s+2)(s^2+9s+20)=(s+2)(s+4)(s+5). (1.3) Передаточная функция в форме нулей и полюсов имеет вид: W(s)=160(2s+1)/(s+2)(s+4)(s+5) . (1.4) Импульсная переходная характеристика w(t) – процесс изменения сигнала на выходе при подаче на вход δ(t)-функции. Определим w(t) как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции: w(t)=L^(-1) {W(s)}. (1.5) Разложим передаточную функцию (1.4) на сумму простых слагаемых:
W(s)=a/(s+2)+b/(s+4)+c/(s+5). W(s)=(a(s+4)(s+5)+b(s+2)(s+5)+c(s+2)(s+4))/(s+2)(s+4)(s+5) . (1.6) Найдем коэффициенты a,b,c по методу неопределенных коэффициентов:
Передаточная функция примет вид: W(S)=(Y(S))/(U(S))=-80/(S+2)+560/(S+4)-480/(S+5). (1.7) В соответствии с формулой (1.5), таблицами преобразования Лапласа, найдем импульсную переходную характеристику: w(t)=-80e^(-2t)+560e^(-4t)-480e^(-5t). (1.8) Вид импульсной переходной характеристики, построенный в пакете Matlab, представлен на рисунке 1.1. Переходная характеристика h(t) – процесс изменения сигнала на выходе при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия.
