Связный ориентированный граф задан множеством X={x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6 } и отображением Гxi={x|IK|, xI+L}, где i – текущий номер вершины, n-количество вершин графа. K=1; L=5; N=6;
В данном графе вершины x1, x2, x3, x4 являются центрами графа, вершины x6 являются периферийными вершинами, соответственно радиус графа ρ(G) = 3; диаметр графа D(G) = 5
-вектор удаленностей: d(x_i )=maxd(x_i,x_j )=■(■(x_1@x_2@■(x_3@█(x_4@x)_5@x_6 ))&[█(3@3@3@3@3@3)] ) В данном графе все вершины являются центрами графа и периферийными вершинами, соответственно радиус графа ρ(G) = 3; диаметр графа D(G) = 3 Опишем систему уравнений, соответствующую сигнальному графу, считая, что передача между вершинами xi и xj:
Сигнальный граф в соответствии с приведенной системой:
Найдем передачу между x1 и x6 по правилу Мезона.
где: Рs – передача S-го элементарного пути; D – определитель графа, который зависит только от передач контуров; Ds – алгебраическое дополнение для S-ro пути; S – число элементарных путей.
4. Исследуем задачу достижимости для сети Петри, с начальной маркировкой [03121] для маркировки [14111] Уравнение µ/T = µ0T + xT D принимает вид:
[110-10] = [(x1 –x2)(x1 –x3)(x2 –x3) (-x1 +x3) (-x2 +x3)] Приравниваем составляющие векторов одно из решений x1 = 2; x2=1; x3 =1; Маркировка достижима и для ее достижения необходимо чтобы переход t1 сработал 2 раза; переход t2 , - 1 раз ; t3- 1 раз.
ЗАДАНИЕ 4. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АВТОМАТОВ.
Конечный автомат задан графом, определенным в задаче 1 контрольной работы № 1. Вершины графа отожествляются с состояниями автомата таким образом, что множество состояний Q = {q1, q2 ,…, qn}. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется под воздействием множества входных сигналов X={x1, x2, x3, x4}. Переходы определяются законом отображения Г вершин графа, причем каждому переходу соответствует только одна из букв множества X. При задании графа эти буквы расставим произвольно.
Автомат позволяет вырабатывать выходные сигналы Y={y1, y2, y3}: y1 – переход из состояния qi в состояние qi (петля); y2 – переход из состояния qi в qj при i<j; y3 – переход из состояния qi в qj при i>j.
Количество букв входного алфавита АА п=4, количество букв выходного алфавита m = 3, количество состояний r = 5. Определим количество входов СА: p ≥ log2 4, принимаем р = 2. Количество выходов СА: e ≥ log2 2, принимаем е =1. Количество элементов памяти, т.е. необходимое количество T-триггеров: z ≥ log2 6, принимаем z = 3. Осуществим кодирование входного и выходного алфавитов структурного автомата:
Создадим стационарный линейный объект с именем w в пакете Matlab >>w=tf([960 1920 960], [1 20 116 160 ]) Transfer function: 960s^2+1920s+960 ------------------------ S^3+20s^2+116s+160
Чтобы перейти от передаточной функции к дифференциальному уравнению системы, нужно перейти из области изображений по Лапласу во временную область.
Характеристическое уравнение системы определяется знаменателем передаточной функции λ_1=-2 D(S)=S^3+20s^2+116s+160=0 Итак, S^3+20s^2+116s+160=(S+2)(S^2+18S+80)=0 тогда λ_2=-8,λ_3=-10,(S+2)(S+8)(S+10)=0. Найдем корни многочлена в пакете Matlab с помощью команды pole(w).
>> pole(w) ans = -10.0000 -8.0000 -2.0000 Передаточная функция системы в форме нулей и полюсов имеет вид
W(S)=Y(S)/U(S) =960(S+1)(S+1)/(S+2)(S+8)(S+10) Получим разложение передаточной функции на сумму простых слагаемых Найдем a, b, c : a/(S+2)+b/(S+8)+c/(S+10)=
В результате решения данной системы уравнений получим a=20; b=-3920; c=4860 W(S)=20/(S+2)-3920/(S+8)+4860/(S+10) Импульсная переходная характеристика w(t) – это процесс изменения сигнала на выходе при подаче на вход δ-функции. Ее можно найти в результате обратного преобразования Лапласа, примененного к каждому слагаемому передаточной функции. В соответствии с таблицами соответствия тогда
W(t)=20e^(-2t)-3920e^(-8t)+4860e^(-10t).
Matlab >>ch=[960 1920 960] >>zn=[1 20 116 160] >> [x]=residue(ch,zn) x = 4860.0000 -3920.0000 20.0000 Переходная характеристика h(t) – это процесс изменения сигнала на выходе системы при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия. Преобразование по Лапласу 1(t) это Для получения аналитической формы переходной характеристики дополним систему интегратором:
h(t)=-486e^(-10t)+490e^(-8t)-10e^(-2t)+6 Переходную характеристику можно также вычислить следующим образом получим такой же результат. Временные характеристики системы, построенные в пакете Matlab, приведены на рис. 5.1 и 5.2.
График h(t) >> step(w)
Рис. 5.1
График w(t) >> impulse(w)
Рис. 5.2
Построение асимптотических ЛАЧХ и ФЧХ. При определении частотных характеристик подразумевается, что на входе и выходе системы сигналы являются гармоническими. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает, как изменяется отношение выходного сигнала к входному в зависимости от частоты. Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) показывает изменение сдвига фаз между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты. ЛАЧХ строится в двойных логарифмических шкалах. По одной логарифмической оси откладывается круговая частота , по другой значение , выраженное в децибелах. Асимптотическая ЛАЧХ состоит из отрезков прямых линий с наклонами кратными 20 дБ/дек. Преобразуем передаточную функцию к следующему виду: W(S)=(960s^2+1920s+960)/(S^3+20s^2+116s+160)=960(S+1)(S+1)/(S+2)(S+8)(S+10) = =6 (1/1 S+1)(1/1 S+1)/(1/10 S+1)(1/8 S+1)(1/2 S+1) .
Теперь она представляет собой произведение трёх апериодических и одного форсирующего звена с постоянным времени T_1=1; T_2=1; T_3=1/2; T_4=1/8; T_5=1/10. Коэффициент усиления K=6 Сопрягающие частоты звеньев равны ω_1=1/T_1 =1; ω_2=1/T_2 =1; ω_3=1/T_3 =2; ω_4=1/T_4 =8; ω_5=1/T_5 =10. Далее необходимо правильно разметить оси, и отметить на оси сопрягающие частоты. ЛАЧХ приведена на рис. 5.3, а. Так как интегрирующие звенья отсутствуют, то первый наклон в области низких частот будет нулевой. Он идёт параллельно оси частот на уровне 20 lgK до первой сопрягающей частоты 1, 2. Эти частоты относится к форсирующему звену. Следовательно, наклон изменится на +2. Этот наклон будет идти до сопрягающей частоты 3. Так как эта частота относится к апериодическому звену, то наклон изменится на -1 и станет +1. После частоты 4 наклон изменится на (-1) и станет нулевым, будет продолжаться до 5. После частоты 5 он изменится ещё на (-1) и станет равным (-1). Фазочастотная характеристика (рис. 5.3, б) построена в соответствии с выражением ϕ(ω)=arctgω+arctgω-arctg 1/2 ω-arctg 1/8 ω-arctg 1/10 ω. Значения каждого из слагаемых определяются приближенно для значений , . В этих точках В пакете Matlab для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ используется команда bode(w), а для построения АФЧХ команда nyquist(w). Соответствующие характеристики приведены на рис. 5.4 и 5.5. Рис. 5.3
ЛАЧХ и ЛФЧХ системы >>margin(w)
Рис. 5.4 АФЧХ системы: >> nyquist(w)
Рис. 5.5
Кроме входных и выходных переменных при описании систем выделяют переменные x, связанные с внутренней структурой устройства – переменные состояния. Тогда систему можно описать с помощью уравнений состояния. Нормальная форма уравнений состояния имеет вид:
(5.2)
Здесь А – квадратная матрица определенного вида, размер которой определяется порядком дифференциального уравнения. Элементы, стоящие над главной диагональю – единицы, элементы нижней строки – коэффициенты левой части дифференциального уравнения, взятые с противоположным знаком. Все остальные элементы – нули. Такая матрица называется матрицей Фробениуса. Дифференциальное уравнение системы имеет вид: "y" ⃛("t" )"+" -20 y ̈(t)+ -116 y ̇(t)+ -160 y(t)= 960 u ̈(t)+ -1920 u ̇(t)+ 960u(t) α_3 α_2 α_1 α_0 β_2 β_1 β_0
Элементы матриц B и D вычисляются по следующим рекуррентным соотношениям: b_1=β_2-α_2*b_0=960-20∙0=960 b_2=β_1-α_2*b_1-α_2*b_0=1920-20∙960-20∙0=-17280 b_3=β_0-α_2*b_2-α_1*b_1-α_0*b_0=960-20∙-17280-116∙960-160∙0=235200 b_1 960 B= b_2 , B= -17280 , C=[1 0 0] b_3 235200
Подставив рассчитанные матрицы в систему (5.2), получим
Записать уравнения состояния в канонической форме. Изобразить схему моделирования. Введем новую переменную состояния q, которая связана с переменной состояния x следующим образом: х = М q. М – это модальная матрица, которая имеет вид
где i – характеристические числа матрицы Фробениуса А. При подстановке q вместо x в нормальную форму уравнений состояния (5.2), то после преобразований получим уравнения состояния системы в канонической форме: (5.3)
Схема модели, соответствующая полученной системе, приведена на рис. 5.7. Для нее характерно параллельное соединение интеграторов, выходы которых определяются переменными состояния q1, q2, q3.
Блок-схема модели
Рис. 5.7
Найдем решение y(t) для системы уравнений в нормальной форме, если начальные условия имеют вид: 2 Сигнал 20 Переходя к начальным условиям для х, в соответствии с принятыми ранее обозначениями получим 2 Решение уравнения состояния складывается из двух составляющих – свободной и вынужденной. Свободная составляющая – это общее решение дифференциального уравнения системы с нулевой правой частью. Оно не зависит от внешнего воздействия и характеризует естественное поведение системы. Вынужденная составляющая – это частное решение дифференциального уравнения с ненулевой правой частью. Оно зависит от сигнала и характеризует поведение системы под его воздействием. Решение уравнения состояния имеет вид
где – фундаментальная матрица или матрица перехода. Она вычисляется по следующей формуле:
где – неизвестные коэффициенты. Вычислить их можно, решая матричное уравнение
Так как , то свободная составляющая выходного сигнала будет равна 3.334e^(-2t)-3.334e^(-8t)+2e^(-10t). Определим вынужденную составляющую при входном сигнале u(t) = 20*1(t). Сигнал на выходе при поступлении на вход 1(t) уже вычислен – это переходная характеристика системы (5.4). Чтобы получить вынужденную составляющую сигнала в нашем случае – умножим переходную характеристику на 20. Таким образом, сигнал на выходе системы будет следующим:
Выполним проверку: y(0)=-196.666+9796.666-9718+120=2 -верно y(∞)=120 -верно Найдем решение уравнений состояния, представленных в канонической форме (5.3). Каждое из дифференциальных уравнений первого порядка зависит только от одной переменной и его решение в общем виде имеет вид
Определим начальные условия для вектора Так как , то
Решения нормальных и канонических уравнений состояния совпадают. Проверим, одинаково ли значение коэффициента усиления: по передаточной функции, переходной характеристике, моделям в пространстве состояний, аналитической записи импульсной переходной характеристики. Проверим значение коэффициента усиления по передаточной функции
По моделям в пространстве состояний. Каноническая форма: 20/2-3920/8+4860/10=6 Нормальная форма (в установившемся режиме на входах интеграторов нули): 235200-17280*20+960*116-160*k; k=6. По аналитической записи импульсной переходной характеристики: W(t)=20e^(-2t)-3920e^(-8t)+4860e^(-10t);20/2-3920/8+4860/10=6 Мы видим, что значение коэффициента усиления одинаково.
ЛИТЕРАТУРА
Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высш. шк., 1986. – 311 с. Павлова А.В. Математические основы теории систем: Конспект лекций для студентов специальности «Автоматическое управление в технических системах». Ч. 1. – Мн.: БГУИР, 1999. – 78 с. Павлова А.В., Кушелев Ю.В. Методические указания к практическим занятиям и курсовой работе по курсу «Математические основы теории систем». – Мн.: БГУИР, 1994. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. – М.: Энергия, 1986.
