Структура исследуемой замкнутой линейной непрерывной САУ представлена на рис.1.1, где – управляющее воздействие, – возмущающее воздействие, - сигнал ошибки, - выходной сигнал. Значения параметров , , заданы в табл. 1. Размерность , , в секундах, общий коэффициент передачи имеет размерность 1/с, в табл. 1 заданы также желаемые показатели качества системы: максимальная ошибка по скорости при скачке по скорости и , время переходного процесса в секундах, и перерегулирование в процентах.
Исходные данные приведены в табл.1
Таблица 1 Номер варианта
1 eck tnn σ
15 2,8 0,06 3,8 10 0,23 1 4,8
Рис.1.1
1. Требуемые передаточные функции находят с использованием правил структурных преобразований. Коротко сформулируем основные правила. Передаточные функции последовательно соединенных звеньев перемножаются. Передаточные функции параллельно соединенных звеньев складываются. Передаточная функция системы с обратной связью – это передаточная функция замкнутой системы, которая определяется по формуле:
Например, для системы, представленной на рис. 1.2 можно записать следующие передаточные функции :
Рис.1.2
Передаточная функция разомкнутой системы при , (т.е. разомкнута главная обратная связь) определится выражением
где обозначено , , . Главная передаточная функция или передаточная функция замкнутой системы при :
Передаточная функция по ошибке при , которая позволяет выразить ошибку e(t) в системе при известном входном воздействии:
Передаточная функция по возмущению при позволяет выразить влияние возмущения на выходной сигнал:
2. Передаточная функция разомкнутой исходной системы имеет вид , где . Характеристическое уравнение замкнутой системы будет , где при заданных из таблицы исходных данных числовых значениях и коэффициенты будут зависеть от параметров и . Применение критерия Гурвица к характеристическому уравнению четвертого порядка дает следующие условия устойчивости: . Приравнивая в написанных соотношениях правые части нулю, найдем зависимость от и построим в плоскости и границы устойчивости, ограничивающие некоторую область устойчивости. При заданном параметре находим граничное значение коэффициента передачи .
где обозначено , , ,
Выразим К через параметр Т2.
Зависимость К(Т2) приведена на рис.1.3.
Рис.1.3
При заданном параметре находим граничное значение коэффициента передачи .
Kгр=K(T2=0.1)= 8.2746.
3. Полагая , записываем аналитическое выражение для , из при . К=0.7Kгр= 5.7922. Передаточную функцию разомкнутой системы можно записать в виде
где
Тогда
где
Строим графики логарифмических характеристик разомкнутой системы, с помощью MATLAB (оператор bode или margin) Рис.1.4 а. Предварительно с помощью функции paz=tf([K],[a0 a1 a2 a3 0]) найдем
Рис.1.4 а
Вещественная часть частотной характеристики замкнутой системы
Строим график АФЧХ с помощью MATLAB (оператор nyquist) рис.1.4 б для разомкнутой системы.
Рис.1.4 б
Запасы устойчивости по модулю и фазе определяются по логарифмическим характеристикам (см. рис.1.4 а): на частоте среза ωс определяется запас по фазе – , а запас по амплитуде – на частоте при которой . Таким образом, , что является недостаточным. 4. Величина ошибки по скорости определяется как . Для ориентировочной оценки tnn и σ следует построить переходной процесс (оператор step в MATLAB) при и по нему определить tnn и σ. Для получения уравнений состояний в нормальной форме используем дифференциальное уравнение замкнутой системы . Если , то уравнение состояния имеет вид
Для описания динамических систем в пространстве состояний в Matlab 7.* применяются модели подкласса ss, которые основаны на линейных дифференциальных или разностных уравнениях. Модель непрерывной системы в подклассе ss имеет вид:
dx/dt = Ax + B; y = Cx + D,
где: х - вектор состояния; u- вектор входа; у - вектор выхода. Для формирования моделей в подклассе ss предназначена функция ss
sys = ss(A, В, С, D).
В результате под именем sys получаем ss-объект с числовыми характеристиками в виде четверки матриц {А, В, С, D}, которые должны иметь согласованные размеры. Матрицу D в данном случае полагаем равной 0. Для построения переходного процесса воспользуемся оператором step в MATLAB. Реализация функций имеет вид:
В результате получим графики представленные на рис.1.5. Нас будет интересовать Out(1). Величина ошибки по скорости определяется как . Для ориентировочной оценки tnn и σ следует построить переходной процесс (оператор step в MATLAB) при и по нему определить tnn и σ. Эти величины из графика Out(1) определяются следующим образом: , Время переходного процесса определяется с учетом следующих соотношений: εуст=(t)/(1+K), где , а К=5.7922 – общий коэффициент передачи разомкнутой системы. Тогда εуст=1/(1+1.964)= 0.15 и следовательно tnn из графика Out(1) .
Рис.1.5
Таким образом. исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать. 5. Если исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать. В случае применения частотных методов синтеза коррекции строится желаемая ЛАЧХ . В низкочастотной части желаемой ЛАЧХ при сохранении порядка астатизма (наличие интегратора 1/s в системе) требуемый коэффициент усиления выбирается из соотношения . На частоте среза желательно иметь наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек с протяженностью этого участка не менее одной декады. Далее среднечастотная часть ЛАЧХ сопрягается с низкочастотной отрезком прямой с наклоном -40(если необходимо -60) дБ/дек, а высокочастотная часть желаемой исходной ЛАЧХ по возможности должны совпадать. Учет требований качества переходного процесса: tnn и σ, запасов устойчивости учитываются при формировании среднечастотной области . Здесь можно воспользоваться графиком (рис.1.6).
Рис.1.6
По графику рис.1.6 для заданных значений и находят и затем из соотношения частоту среза . В наше случае: (как показано на рис.1.6,а) для , , откуда для , значение и . Сопряжение среднечастотного участка с низкочастотным и высокочастотным (рис. 1.7) должно быть таким, чтобы была проще коррекция и чтобы изломы, по возможности, были не более чем на (протяженность участка около декады). Тогда, выберем на частоте и на частоте . Введем обозначения:
Величину ω1 найдем из условия равенства значений . Это соотношение приводит к следующему выражению:
В последнем выражении обозначено: ω'=0.1ω2 L’(ω')=50 дБ L’(ω2)=10 дБ L(ω3р)=L(0.2083)= 25.8695 дБ L(ω2)=L(0.25)= 23.4214 дБ Последние две величины находятся из выражения для Lисх(ω). Найденное по формуле значение ω1=0.1372 ЛАЧХ с корректирующего устройства с характеристикой Lk(ω), приведенной на рис.1.7, соответствует функция (рис.1.7):
где
Рис. 1.7.
Общая передаточная функция разомкнутой системы с корректирующим звеном последовательного типа имеет вид
где . Далее воспользуемся функцией zpk(z, р, К), где z и р – векторы из нулей и полюсов, а Кd – обобщенный коэффициент передачи, sys – любое имя присваиваемое модели. Тогда запись в системе Matlab примет вид
Диаграммы Боде (margin(sys1)) представлены на рис.1.8. На диаграмме также обозначены запасы устойчивости, которые являются приемлемыми.
Рис.1.8 Для нахождения переходных характеристик замкнутой системы с корректирующим звеном предварительно сформируем модель в пространстве состояний. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид
Для нахождения Ф(s) воспользуемся следующей последовательностью команд
sys1=zpk([-1/T2k -1/T3k],[0 -1/T1 -1/T2 -1/T3 -1/T1k -1/T4k],K) Zam_ck=feedback(sys1) – находится передаточная функция замкнутой системы.
Переходная характеристика (рис.1.9 ) находится с помощью функций: sys3=ss(Zam_ck) Из рассмотрения рис. 1.9 видно, что параметры по заданию выполняются.
Рис.1.9
II ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ САУ
Исходные данные
Таблица 2
Номер варианта T T1 1 15 0,7 0,6 0,6 0
Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, составляющая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью , где – период дискретизации, . Исходные данные для расчетов приведены в табл. 2. Для всех вариантов заданий передаточная функция непрерывной части имеет вид .
Импульсный элемент представляется в виде идеального ключа и формирующего устройства с передаточной функцией
Структурная схема системы представлена на рис. 2.1. В табл. 2 – постоянные времени имеют размерность секунды, – коэффициент передачи НЧ имеет размерность и выбирается далее.
Рис 2.1 Структурная схема линейной импульсной системы
1. Для нахождения передаточной функции разомкнутой импульсной САУ находим передаточную функцию приведенной непрерывной части
К применяется Z-преобразование и получается передаточная функция импульсной системы . Преобразуем W0(s) к виду
Здесь введены обозначения . Тогда воспользовавшись результатами [6а] получим , где обозначено
Передаточные функции замкнутой системы легко находятся по выражениям , . , где 2. Устойчивость системы определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы , которое для нашего случая будет иметь вид . В соответствии с алгебраическим критерием [6, c. 432] замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств
, , .
В неравенстве при известных значениях , , , входит величина . Таким образом, можно выделить отрезок значений , при которых система будет устойчива и далее принять . Условия устойчивости будут:
После преобразований и возврата к старым переменным получим
Вычислим эти значения. Получим 0 <K0< 1.6711. Таким образом, принимаем K0=0.5 K0’=0.8355. 3.Для построения частотных и логарифмических частотных характеристик в выражении делаем замену переменной
, (2.1)
В результате этого получим частотную характеристику и далее логарифмическую амплитудно-частотную характеристику и фазочастотную характеристику , графики, которых строятся в логарифмическом масштабе. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид тогда можно воспользоваться следующей последовательностью команд Matlab
где параметры g и f видны из вышеприведенного выражения.
Рис.2.2
4. Рассматриваемая система для всех вариантов является астатической с астатизмом первого порядка и имеет следующую передаточную функцию
где . В силу астатизма первого порядка в такой системе статическая ошибка всегда равна нулю, а скоростная вычисляется по формуле . Тогда
и следовательно, eск= 2.8496. Вычислим коэффициенты ошибок. Величина , а коэффициент ошибки находится по следующей формуле , где передаточная функция системы по ошибке. Тогда (воспользовавшись системой Mathematica)
Подставив в последнее выражение найденные ранее значения окончательно получим С1=2.8496. 5. При входном воздействии вида переходный процесс в замкнутой системе можно вычислить с помощью моделирования импульсной системы в Matlab. Для этого необходимо задать передаточную функцию непрерывной части системы в tf- или zpk -форме, преобразовать ее в дискретную с помощью оператора c2d при заданном времени дискретизации T, а затем построить переходной процесс системы оператором step. Так же можно построить и логарифмические частотные характеристики импульсной системы – bode. Если задана передаточная функция замкнутой системы в виде и период дискретизации , то получим рис.2.3. W0=tf([T1 1 0]],[T1 1 K0(tay+1)]) W1=c2d(W0,Ts) step(W1)
На рис.2.4 представлена диаграмма Боде исследуемой дискретно системы, с отмеченными на ней запасами устойчивости по амплитуде и фазе.
Рис.2.3
Рис.2.4
3 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ САУ
Структура нелинейной САУ представлена на рис. 3.1, где НЭ нелинейный элемент, передаточная функция непрерывной линейной части системы.
Рис.3.1
1. Передаточная функция берется из пункта 1, как передаточная функция скорректированной системы с соответствующими числовыми коэффициентами. Нелинейный элемент НЭ имеет нелинейную характеристику , которая для всех заданий является характеристикой идеального реле
где равна 2. Приближенная передаточная функция нелинейного элемента для случая идеальное реле имеет вид , где амплитуда искомого периодического режима, . 2. На комплексной плоскости строим характеристику [ ] . Это прямая, совпадающая с отрицательным отрезком действительной оси, вдоль которой идет оцифровка по амплитуде . В том же масштабе на комплексной плоскости строится АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до . Передаточная функция скорректированной системы
На рис.3.2 (выделен интересующий фрагмент) пунктиром отмечена АФЧХ .
Рис. 3.2
Точка пересечения кривых (-0.0593, 0j). В точке пересечения АФЧХ и прямой [ ] по графику находятся частота искомого периодического (гармонического) режима , а на прямой [ ] в точке пересечения его амплитуда . Тогда в системе существуют периодические колебания . Приравнивая находим w*=4.2786. При найденном значении частоты получим Re(W0(jw))= -0.0593. Из условия находим, а*=0.1510. Для определения устойчивости периодического режима можно воспользоваться следующим правилом: если при увеличении амплитуды вдоль кривой [ ] пересечение АФЧХ происходит изнутри вовне, то такой периодический режим будет устойчивым, т.е. в системе существуют автоколебания с частотой и амплитудой . Таким образом, периодический режим будет устойчивым.
ЛИТЕРАТУРА
1. Теория автоматического управления. Конспект лекций: В 2ч. Ч.1: Линейные непрерывные системы: учеб.-метод. пособие / В.П. Кузнецов, С.В Лукьянец, М.А. Крупская. − Мн.: БГУИР, 2007. − 132 с. 2. Кузнецов, В.П. Линейные непрерывные системы: Тексты лекций по курсу: Теория автоматического управления.− Мн.: БГУИР, 1995.-180 с. 3. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления. Ч.1: Линейные непрерывные системы./ В.П. Кузнецов, С.В. Лукьянец, М.А. Крупская − Мн.: БГУИР, 2006. 4. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления Ч.2.: Дискретные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы /С. В. Лукьянец, А. Т. Доманов, В.П. Кузнецов, М. А. Крупская/ − Мн.: БГУИР, 2007. 5. Кузнецов, В.П. Линейные импульсные системы: Математическое описание: Тексты лекций по курсу „Теория автоматического управления”. − Мн.: БГУИР, 1996. − 70 с. 6. Бесекерский, В.А. Теория автоматического управления / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. − СПб: Профессия, 2004. 6а. Кузин Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. – М.: ГНТИ Машиностроительной литературы. 1969. 7. Теория автоматического управления. Ч.1./ под ред. А.А. Воронова. − М.: Высш. шк., 1986. 8. Теория автоматического управления. Ч.2. / Под ред. А.А. Воронова. − М.: Высш. шк., 1986. 9. Теория автоматического управления: учеб. Пособие для вузов / А.С. Востриков, Г.А. Французова. − М.: Высш. шк., 2004. 10. Иванов, В.А., Ющенко, А.С. Теория дискретных систем автоматического управления. − М.: Физматгиз, 1983. 11. Медведев, В. C., Потемкин, В. Г. Control System Toolbox. Matlab 5 для студентов. -М.: Диалог-МИФИ, 1999. 12. Автоматизированный расчёт систем управления. Методическое пособие к лабораторным работам для студентов специальностей 53 01 03 «Автоматическое управление в технических системах» и 53 01 07 «Информационные технологии и управление в технических системах» всех форм обучения/М.А.Антипова, М.К.Хаджинов. – Мн.: БГУИР, 2003.-38с 13. Лазарев Ю. Ф., Matlab 5.X . -Киев.: Ирина, BHV, 2000. – 382c. 14. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами в системе MatLab. – СПб.: Наука, 2000. – 475c. 15. Материалы сайта www.exponenta.ru
