1. Система регулирования температуры в каком либо помещении или объёме………………...3 2. Что такое математическая модель? Статика, динамика………………………………………..5 3. Какими методами можно определить статические и динамические математические модели?............................................................................................................................................7 4. Задача 1……………………………………………………………………………………………9 5. Задача 2…………………………………………………………………………………………...10 Литература…………………………………………………………………………………………....12
1. Система регулирования температуры в каком либо помещении или объёме. Для примера рассмотрим конкретный технологический процесс - регулирование температуры в электропечи для закаливания металла. Для реализации этого процесса электропечь снабжается управляющим (или регулирующим) органом, с помощью которого можно управлять процессом закаливания - изменять температуру в соответствии с заданным законам. Создание условий, обеспечивающих требуемое протекание процесса закаливания, т.е. поддержание необходимого режима, называется управлением. Управление может быть ручным или автоматическим. При ручном управлении воздействие на управляющий орган осуществляет человек, наблюдающий за ходом процесса. Функциональной схемой называется символическое изображение всех функциональных элементов технологического процесса и связи между ними, отражающее последовательность процессов в системе. Представим с помощью функциональной схемы технологический процесс закаливания металла в электропечи (рис.1).
Рис.1. Функциональная схема технологического процесса закаливания металла в электропечи с участием оператора
Данная система предназначена для поддержания необходимого режима, т.е. изменения температуры y(t) в электропечи по заданному закону. Для обеспечения требуемого процесса электропечь снабжается двумя элементами: термопарой, с выходами которой получают электрическое напряжение x(t), пропорциональное температуре в электропечи, и реостатом, с помощью которого меняется сопротивление в цепи её нагрева. При увеличении сопротивления ток в цепи нагрева уменьшается, а, следовательно, уменьшается и температура в электропечи. При уменьшении сопротивления ток возрастает, и температура увеличивается. Наблюдая за показаниями прибора, на котором фиксируется реальная температура в электропечи, и в зависимости от того, в какую сторону она отклонилась от заданного значения, оператор соответственно перемещает движок реостата. При этом отклонение реальной температуры в электропечи от заданной не должно превышать допустимое значение .В системе имеет место так называемая обратная связь (ОС). Важнейшим звеном рассмотренного технологического процесса является оператор, следовательно, эта система является ручной. При автоматическом управлении процессом воздействие на управляемый орган (реостат) осуществляет специальное управляющее устройство. Рассмотрим схему реализации приведённого технологического процесса без участия человека, в котором перемещение движка реостата в зависимости от наблюдаемого отклонения температуры осуществляется с помощью двигателя (привода). Поскольку с выхода термопары получают сигнал очень небольшой мощности (недостаточной для питания даже небольшого приводного двигателя), в схему вводят промежуточное звено – усилитель мощности. Схема реализации закаливания металла в электропечи без участия человека представлена на рис 2. Здесь сигнал y(t) (заданной температуры в печи) называют управляющим, сигнал x(t) (реальной температуры) – управляемой переменной, а систему, реализующую процесс закаливания, - системой автоматического управления.
Рис.2. Функциональная схема автоматической системы, реализующей процесс закаливания металла в электропечи
Система автоматического управления представляет собой совокупность объекта управления (ОУ) и управляющего устройства, включающего в себя усилитель, реостат, измерительное устройство (датчик) и элемент сравнения. Объектом управления в данном случае является электропечь, а управляемой выходной переменной - температура. Под управляющим подразумевается устройство, обеспечивающие процесс управления, т.е. целенаправленное действие, приводящее к желаемому изменению управляемой переменной (температуры накаливания). Для улучшения качества управления (например, уменьшения ошибки , степени колебательности и т.д.) в систему вводят дополнительный очень важный элемент- регулятор. Тогда схема система автоматического управления (САУ), представленная на рисунке 2, будет иметь вид, показанный на рисунке 3.
Рис.3. Изменённая функциональная схема системы автоматического управления процессом закаливания металла:
При создании и функционировании САУ параметры элементов 4…8 остаются неизменными, поэтому часть системы, включающая в себя эти элементы носит название неизменяемой. На практике неизменяемую часть часто называют объектом управления, а к управляющему устройству относят лишь регулятор. Именно его параметры изменяются в процессе проектирования САУ.
2. Что такое математическая модель? Статика, динамика. Математическая модель - это формальное описание работы объекта управления. Математическая модель объекта управления включает математическое описание зависимостей между основными переменными (выходные регулируемые переменные, управляющие воздействия и возмущения) и накладываемые на них ограничения. Поведение объекта управления, результат его действия определяется некоторыми показателями. Чаще всего ими являются значения каких-то физических величин, которые называют выходными величинами или выходными координатами объекта управления. Входные координаты- параметры, характеризующиеся внешними воздействиями. В качестве входных сигналов могут выступать: помехи — сигналы, не связанные с источниками информации о задачах и результатах управления. полезные — сигналы, связанные с источниками информации о задачах и результатах управления. На примере рассмотрим апериодическое (инерционное) звено:
Уравнение и передаточная функция звена:
Амплитудно-фазовая частотная характеристика:
Амплитудная и фазовая частотные характеристики соответственно будут:
Переходная функция, согласно решению уравнения звена, при x1=1(t) и нулевых начальных условиях имеет вид:
а весовая функция
Постоянная времени T1 определяет наклон касательной в начале кривой. Следовательно, величина T1 характеризует степень инерционности звена, т.е. длительности переходного процесса. Практически с точностью до 5% переходный процесс считается затухшим за время
Примером апериодического звена является (в первом приближении) электро- двигатель, x1 - управляющее напряжение, x2 - угловая скорость вала. Другой пример - цепочка LR, в которой x1 - входное напряжение u, а x2 - ток в цепи i.
Статика- раздел механики, предметом которого являются материальные тела, находящиеся в состоянии покоя при действии на них внешних сил. В широком смысле слова статика - это теория равновесия любых тел - твердых, жидких или газообразных. В более узком понимании данный термин относится к изучению равновесия твердых тел, а также нерастягивающихся гибких тел - тросов, ремней и цепей. Динамика изучает тела, находящиеся под воздействием неуравновешенных внешних сил, т.е. тела, характер движения которых изменяется. Поскольку равновесие означает равенство нулю равнодействующей всех сил, приложенных к телу, динамика, очевидно, имеет дело с силами, равнодействующая которых не равна нулю. Математические модели бывают: линейными и нелинейными, дискретными и непрерывными, статическими и динамическими, сосредоточенными и распределёнными, детерминированными и стохастическими. Линейная система — математическая модель системы, оператор которой обладает свойством линейности. Нелинейная система — динамическая система, в которой протекают процессы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями. Свойства и характеристики нелинейных систем зависят от их состояния. В отличие от линейной системы не обладает свойствами суперпозиции, частота выходного сигнала зависит от его амплитуды и др. Многие нелинейные системы в области малых изменений параметров поддаются линеаризации. Математические модели можно разделить также на два вида: статические и динамические. Статические модели описывают установившиеся режимы работы, когда сигналы и регулируемые величины остаются постоянными, неизменными. Для описания статики обычно используются алгебраические уравнения. Динамические модели описывают переходные режимы работы. Они могут представляться в различных видах: 1) системы дифференциальных или операторных уравнений первого порядка; 1) одним дифференциальным или операторным уравнением более высокого порядка; 2) передаточными функциями; 3) структурными схемами; 4) матричное описание в пространстве состояний и др. Для описания объектов, работающих при случайных воздействиях, используются вероятностные (стохастические) модели. Из динамических моделей легко получить статические. Достаточно положить производные (или оператор Лапласа) равными нулю.
3. Какими методами можно определить статические и динамические математические модели? Можно выделить два подхода к определению математической модели: аналитический и экспериментальный. Аналитический метод основывается на анализе физических процессов, происходящих в объекте. Он применяется в тех случаях, когда хорошо известны физические процессы, происходящие в объекте и законы, которые их описывают, когда эти процессы достаточно изучены и могут быть описаны количественно. Экспериментальный подход применяется тогда, когда такой информации нет, когда невозможно получить модель аналитически. При этом основную информацию об исследуемом процессе или объекте получают путем непосредственных измерений на нем. Помимо этого экспериментальный подход применяют для проверки адекватности модели, полученной аналитически. Методика аналитического определения математической модели: Аналитический метод базируется на использовании физических законов, определяющих ход процессов, происходящих в объекте. Для простых объектов, в которых протекает один элементарный процесс, математической моделью будет запись уравнения, описывающего этот процесс. Решение задачи определения математической модели сложного объекта, в котором протекают различные физические процессы, может быть осуществлено в такой последовательности: 1. Выделяется объект из окружающей среды и изучается его физическая сущность и протекающие в нем процессы. 2. Определяется назначение объекта, и формулируются цели и задачи управления. 3. Определяются переменные (координаты) характеризующее качество работы (выходные, регулируемые переменные). 4. Устанавливаются переменные (координаты) изменение которых наиболее существенно влияет на качество работы объекта (возможные управляющие воздействия и возмущения). 5. Выявляются и формулируются зависимости между выходными координатами и критериями качества, а также между выходными координатами и возможными управляющими воздействиями и возмущениями, т.е. производится собственно математическое описание работы объекта. При этом сложный объект удобно представить в виде совокупности более простых, элементарных составных частей с описанием связей между ними. Декомпозиция объекта может осуществляться как по составу устройств и элементов, входящих в объект, так и по физической сущности процессов, происходящих в нем. На основании анализа процессов, происходящих в отдельных элементах, структуры объекта определяются их математические модели, которые являются записью физических законов, которым подчиняются происходящие в них процессы. При этом необходимо учитывать связи между элементами структуры и обеспечивать их согласование по физической природе сигналов и их размерностям. 6. Определяется номенклатура и параметры управляющих воздействий, и накладываемые на них ограничения, а также возмущения. 7. По полученной структуре и математическим моделям элементов, путем исключения промежуточных переменных, определяются зависимости между выходными переменными, управляющими сигналами и возмущениями. Эти зависимости и являются собственно математической моделью объекта 8. Вычисляются численные значения параметров модели. 9. Оцениваются точность модели и ее адекватность реальному объекту. Методику аналитического определения математической модели проиллюстрируем на конкретных объектах, процессы в которых наглядны и достаточно хорошо изучены. Экспериментальные методы применяются в тех случаях, когда получить математическую модель аналитически затруднительно (например, из–за сложности и недостаточной изученности процессов, происходящих в объекте), а также для проверки и уточнения математических моделей, полученных аналитически. Создание точной рабочей модели сложного объекта без экспериментальной проверки и доводки практически невозможно, так как аналитическая модель бывает либо недостаточно точной и надежной, либо очень сложной и громоздкой. Задача эксперимента состоит в получении упрощенных функциональных связей между интересующими переменными процесса. Критерием подбора таких упрощенных функций является минимизация отклонения реакции в модели от реакции в реальном объекте. Эксперимент может быть активным и пассивным. При активном эксперименте на объект подаются искусственные (пробные) воздействия различного вида (ступенчатые, импульсные, гармонические, случайные) и фиксируется реакция объекта на эти воздействия. При пассивном эксперименте пробные воздействия не подаются, а осуществляется непрерывная регистрация входных и выходных переменных в процессе нормальной эксплуатации объекта. 4.Объектом управления является двигатель постоянного тока серии СЛ с нагрузкой, момент инерции которой, приведённой к валу двигателя, равен 4*JДВ. Исходные данные: Электродвигатель постоянного тока обыкновенного исполнения серии СЛ-521К с данными =110В, =0,37, =105 рад/с , =20 Вт, Н*м, =0,623 Н*м, Ом, = , m=3.9 кг.
Требуется: -записать в общем виде передаточные функции по управляющему сигналу и возмущению , - где частота вращения, U-напряжение, приложенное к якорю, Mc - момент сопротивления; Записываем передаточные функции по управляющему сигналу и возмущению: Положив , получим
при ,
- изобразить математическую модель в виде замкнутой структурной схемы с обратной связью по противоЭДС;
- вычислить параметры математической модели: коэффициенты передачи по управляющему сигналу ( ) и возмущению ( ); постоянные времени ( ) и ( ); конструктивные постоянные ( , ); Находим конструктивную постоянная :
;
Конструктивная постоянная :
.
Находим общий момент инерции: , где момент инерции якоря двигателя; момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя. Так как по условию задачи , то . Вычисляем коэффициент передачи по управляющему сигналу ; Вычисляем коэффициент передачи по возмущению: ; Вычисляем постоянные времени ТЯ и ТМ:
- определить ограничения по току (максимально допустимый ток якоря) и напряжению (максимальное напряжение, на которой можно включить неподвижный двигатель при пуске). 170,97 В;
5. Объектом управления является двухфазный асинхронный электродвигатель с нагрузкой, момент инерции которой, приведённый к валу двигателя, равен 5*JДВ. Исходные данные: f=500 Гц, , , , , , , , m=2,7 кг. Обмотка управления: , . Обмотка возбуждения: , , Требуется: -записать в общем виде приближённые математические модели в виде передаточных функций по управляющему сигналу и возмущению , где угол поворота вала двигателя; = ; ; -вычислить коэффициенты передачи по управляющему сигналу ( ) и возмущению ( ) и электромеханическую постоянную времени ( ). Находим общий момент инерции: , где момент инерции якоря двигателя; момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя. Так как по условию задачи , то .
Запишем коэффициенты передачи по управляющему сигналу ( ): ; Коэффициенты передачи по возмущению ( ): ;
1. Локальные системы автоматики: конспект лекций для студентов специальности 1-530107/ Красовский А.Я. Минск, 2008. 2. Рабочая программа, методические указания и контрольные задания по курсу СЛА – Красовский А.Я, Минск, БГУИР, 1999г. 3. Автоматика: учебник для средне - профессионального образования, СПО/ Шишмарёв В.Ю.
