1.9. Телефонный номер состоит из шести цифр, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9. Найти вероятность того, что все цифры одинаковы. 1.11. Условие задачи 1.9. Вычислить вероятность того, что номер не содержит цифры пять. Решение. Обозначим событие А- событие состоящее в том, что номер не содержит цифры 5. Для нахождения вероятности события А воспользуемся классическим определением вероятности Р(A)= Где – общее число всевозможных номеров (число перестановок с повторениями 10 цифр по 6 местам) m=95=59049 – число номеров в которых нет пятерки (число перестановок с повторениями 9 цифр по 5 местам) тогда Р(A)=59049/1000000=0,0590 Ответ: Р(A)=0,0590 В задачах 2.1-2.40 приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны p1=0,1; p2=0,2; p3=0,3; p4=0,4; p5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход. №2,11 р1=0,1 р2=0,2 р3=0,3 р4=0,4
Обозначим Аi – событие состоящее в том, что i-ый элемент работает. В – событие состоящее в том, что сигнал пройдет через цепь. В=А1А2А3А4 Так как события Аi независимы, то Р(В)=Р(А1)р(А2) р(А3) р(А4)=(1-р1)(1-р2)(1-р3)(1-р4) Р(В)=(1-0,1)(1-0,2)(1-0,3)(1-0,4)=0,9*0,8*0,7*0,6=0,3024, Ответ: Р(В)=0,3024 3.11. Группа студентов состоит из пяти отличников, десяти хорошо успевающих и семи занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что студент получит хорошую или отличную оценку. Решение. Обозначим А – событие состоящее в том, что в студент получит хорошую или отличную оценку Можно выдвинуть три гипотезы Н1– вызвали отличника Р(Н1)=5/22 Н2– вызвали хорошо успевающих Р(Н2)=10/22 Н3– вызвали слабо успевающих Р(Н3)=7/22 Условная вероятность того, что отличник сдаст на хорошо или отлично РН1(А)=1 Хорошо успевающий РН2(А)=1 Слабо успевающий РН3(А)=1/3 Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности Р(А)= Р(Н1)* РН1(А)+ Р(Н2)* РН2(А)+ Р(Н3)* РН3(А) Р(А)=5/22*1+10/22*1+7/22*(1/3)= Ответ: Р(А)=26/33 4.11. Монету подбрасывают восемь раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений герба? Решение. р=0,5-вероятность выпадения герба при одном броске, n=8- число бросков Наивероятнейшее число стандартных деталей найдем по формуле np-q≤k<np+p 0,5*8-0,5≤k<8*0,5+0,5 3,5≤k<4,5 k=4 Ответ: к=4 ЗАДАЧА 5 В задачах 5.1-5.30 дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в табл. 1.1). Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения. №5,11
Дисперсия Д(Х)=М(Х2)–( М(Х))2 Где М(Х2)= М(Х2)= 02*0,1+12*0,2+22*0,3+32*0,4+42*0=5 Д(Х)=5–22=1
Функция распределения F(xi)=P{X<xi}=P{(X=x1)*(X=x2)* ... *(X=xi-1)}= p1+...+pi-1.
F(X)= График функции распределения
ЗАДАЧА 6 В задачах 6.1-6.30 (параметры заданий приведены в табл. 1.2) случайная величина Х задана плотностью вероятности
Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал [α, β]. №6.11 f(x)= Для определения постоянной с воспользуемся свойством плотности вероятности
Д(Х)=0,1169–0,28542 =0.0354 Функция распределения F(x)= F(X)= при x<0 F(X)= при 0≤x≤ F(X)= при <x
F(X)=
Вероятность того, что 0,5<x<1 найдем по формуле Р(0,5<x<1)=
ЗАДАЧА 7 В задачах 7.1-7.30 (условия приведены в табл. 1.3) случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=ϕ(X) и определить плотность вероятности g(y). №7.11 Y=2х Плотность вероятности СВ Х найдем по формуле f(x)= , f(x)=1/(6+4)=0.1 График функции Y=2х при -4≤x≤6
Ответ: g(y)= ЗАДАЧА 8. В задачах 8.1-8.30 (конкретные параметры приведены в табл. 1.4) двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 1.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:
Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y. №8.11
y=x y=4-x Коэффициент корреляции r= плотность распределения СВ (x,y) найдем по формуле f(x,y)=1/S где S–площадь фигуры S=0.5*2*4=4 f(x,y)=1/4 Плотность распределения f(x) найдем по формуле f(x)= f(x)= , 0<x≤2 f(x)= , 2<x≤4
r= r=0 Ответ: r=0 ЗАДАЧА 9. В задачах 9.1-9.30 вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции RUV: U = a0 +a1X1 +a2X2 V = b0 + b1X2 + b2X3 . Конкретные значения коэффициентов ai, i = 0, ..., 2; bj, j = 0, ..., 2 и числовые характеристики случайных величин Xi, i = 0, ..., 3 приведены в табл. 1.9. №9,11 Решение:
Коэффициент корреляции найдем по формуле
Воспользуемся свойством математического ожидания
Дисперсия
Коэффициент корреляции
2. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ В данном разделе приведены задания по статистической обработке и анализу одномерных (задача №10) и двумерных (задача №11) случайных величин. ЗАДАЧА 10. По выборке одномерной случайной величины: - получить вариационный ряд; - построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x); - построить гистограмму равноинтервальным способом; - построить гистограмму равновероятностным способом; - вычислить оценки математического ожидания и дисперсии; - выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия χ2 и критерия Колмогорова (α = 0,05).
№10,11 Вариационный ряд -3,61 0,24 -3,07 0,31 -2,91 0,36 -2,83 0,39 -2,78 0,40 -2,41 0,42 -2,35 0,44 -2,15 0,44 -2,03 0,45 -1,99 0,46 -1,93 0,50 -1,82 0,51 -1,75 0,54 -1,71 0,54 -1,39 0,55 -1,36 0,57 -1,27 0,61 -1,23 0,67 -1,22 0,68 -0,96 0,73 -0,95 0,75 -0,9 0,76 -0,86 0,85 -0,71 0,86 -0,7 0,87 -0,69 0,93 -0,68 1,09 -0,66 1,11 -0,64 1,19 -0,61 1,19 -0,52 1,24 -0,42 1,33 -0,33 1,41 -0,32 1,47 -0,21 1,48 -0,19 1,51 -0,19 1,61 -0,19 1,62 -0,14 1,62 -0,1 1,77 -0,09 1,99 -0,08 2,01 -0,04 2,05 -0,03 2,10 0,05 2,13 0,08 2,22 0,12 2,28 0,12 2,45 0,21 2,73 0,24 3,12 Эмпирическая функция распределения По формуле построим график эмпирической функции распределения . Так как является неубывающей функцией и все ступеньки графика имеют одинаковую величину 1/n (или ей кратны – для одинаковых значений), то таблицу значений эмпирической функции распределения F*(x) можно не вычислять, а построить ее график непосредственно по и вариационному ряду, начиная с его первого значения
Количество интервалов M, необходимое для построения гистограмм, определим по объему выборки ( см. формулу (10.2)):
Для равноинтервальной гистограммы величины hj, Aj, Bj, рассчитаем по формуле и заполним все колонки интервального статистического ряда : Шаг интервала h= h=(3,12+3,61)/10=0.673
Вычислим точечную оценку математического ожидания по формуле: . Вычислим точечную оценку дисперсии по формуле: .
Построим доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95 по формуле . Для этого в таблице функции Лапласа найдем значение, равное = 0,475, и определим значение аргумента, ему соответствующее: . Затем вычислим и получим доверительный интервал для математического ожидания: . Построим доверительный интервал для дисперсии с надежностью γ = 0,95 по формуле . Вычислим и получим доверительный интервал для дисперсии: . По виду гистограммы выдвинем гипотезу о нормальном распределении СВХ. Проверим гипотезу о нормальном распределении СВХ при помощи критерия χ2 Н0: F(x)=F0(x), Н1: F(x)≠F0(x), Где F0(x), – теоретическая функция и плотность распределения , Где
χ2=100*0.065=6,5 По таблице найдем критическое значение критерия χ2кр(7;0,05)=14,1, так как χ2кр> χ2 то гипотеза о нормальном распределении СВ Х принимается. Проверим гипотезу о нормальном распределении СВ Х при помощи критерия Колмогорова Н0: F(x)=F0(x) Н1: F(x)≠F0(x) Где F0(x)– теоретическая функция распределения
Вычислим значение критерия Колмогорова по формуле:
Из таблицы Колмогорова по заданному уровню значимости =0,05 выбираем критическое значение Так как , то гипотезу о нормальном законе распределения отвергать нет основания. ЗАДАЧА 11. По выборке двухмерной случайной величины: - вычислить оценку коэффициента корреляции; - вычислить параметры линии регрессии a0 и a1; - построить диаграмму рассеивания и линию регрессии №10 Состоятельная оценка коэффициента корреляции
проверим значимость коэффициента корреляции, при помощи критерия t H0: =0 H1: 0 t= t= =1,56 по таблице найдем критическое значение Tкр(0,05;48)=2,02, так как |t|<Tкр то коэффициент корреляции незначим. Доверительный интервал для коэффициента корреляции
