РЕШЕНИЕ

Испытание: знак качества будет присвоен всем изделиям.
Событие: А=07 – присвоен первому изделию, Р(В)=0,9 – присвоен второму изделию, Р(С)=0,8 – присвоен третьему изделию; тогда Р(А)=0,3; Р(В)=0,1; Р(С)=0,2.

а) Рвсем изделиям= Р(А)*Р(В)*Р(С)
Рвсем изделиям=0,7*0,9*0,8=0,504.
в) Ртолько одному=Р(А,В,С или А,В,С или А,В,С)
Ртолько.одному =0,7*0,1*0,2+0,3*0,9*0,2+
+0,3*0,1*0,8=0,014+0,054+0,024=0,092
с) Рхотя бы одному=1 - Рни одному=1-Р(А)*Р(В)*Р(С)
Рхотя бы одному=1-0,3*0,1*0,2=1-0,006=0,994.

11. Оптовая база снабжает товаром 9 магазинов. Вероятность того, что в течение дня поступит заявка на товар, равна 0,5 для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течение дня а) поступит 6 заявок, б) не менее 5 и не более 7 заявок, в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность.

РЕШЕНИЕ
Обозначим событие А – поступила заявка
По условию р=Р(А)=0,5

q=P(A)=1-0,5=0,5
n= 9 к=6

а) Так как число повторных испытаний n= 9, применим формулу Бернулли.

Р9(6)= *
б) К1=5, К2=7
Р9(5≤m≤7)=P9(5)+P9(6)+P9(7)
Р9(5)= *
Р9(7)= *
Р9(5≤m≤7)=0.246+0.0702+0.16=0.4762
в) Рn(событие наступит хотя бы 1 раз)=1-qn
Р9=1-0,59=1-0,001953=0,998
г) np-q≤K0≤np+p
9*0.5-0.5≤K0≤9*0.5+0.5
4≤K0≤5 K0=5
K9(5)= *0.55*0.59-5=
Ответ: а) 0,16 б) 0,4762 в) 0,998 г) K0=5 Р(K0)=0,246.

21. Найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:

Х 8 4 6 5
Р 0,2 0,5 0,2 0,1

Решение
а) Найдем математическое ожидание Х:

М(Х)=8*0,2+4*0,5+6*0,2+5*0,1=5,3.

б) Для нахождения дисперсии запишем закон распределения Х2:

Х2 64 16 36 25
Р 0,2 0,5 0,2 0,1

Найдем математическое ожидание Х2:

М(Х2)=64*0,2+16*0,5+36*0,2+25*0,1=30,5

Найдем искомую дисперсию:

D(X)=M(X2)-[M(X)]2
D(X)=30.5-(5.3)2=2.41

в) найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

Ответ: а) 5,3 б) 2,41 в) 1,55
31. Случайная величина Х интегральной функцией распределения F(Х).
Требуется: а) найти дифференциальную функцию распределения (плотность вероятности) б) найти математическое ожидание и дисперсию Х в) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения.

F(X

Решение:

а) = F(X

б) М(х)=.

М(х2)= .
D(x)=M(x2)-[M(x)]2=2-

в) построить графики функций F(x) и f(x):

41. Заданы математическое ожидание а=15 и среднее квадратичное отклонение б=2 нормально распределенной величины Х. Требуется найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащие интервалу (9; 19). б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше δ=3

Решение

а) воспользуемся формулой:

по условию задачи α=9 β=19 а=15 б=2 следовательно,

По таблице приложения 2: 0,4772;
Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (9; 19) равна:

0,4772+0,49865=0,976065

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше δ=3, равна

Р(
Р(|х-а|<3)=2*Ф(3/2)=2*0,4332=0,8664.
Ответ: а) 0,976065; б) Р(|х-а|<3)= 0,8664.
51. Даны выборочные варианты х1 и соответствующие им частоты ni количественного признака Х. а) найти выборочные среднюю дисперсию и среднеквадратическое отклонение. б) Считая, что количественный признак Х распределен по нормальному закону и что выборочная дисперсия равна генеральной дисперсии, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью γ=0,99

хi 10,2 15,2 20,2 25,2 30,2 35,2 40,2
ni 3 15 26 54 12 5 3

Решение

1. Объем выборки

n=

Средняя выборочная:

=

Выборочная дисперсия:

Dв= 2 – 2, где =23,76
Средняя выборочная квадратов значений признака γ
=

Тогда Dв=598,87-(23,76)2=34,33
Среднее квадратичное отклонение:
σв= σв= 5,86

пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен по нормальному закону, причем среднеквадратическое значение отклонение «σ» этого распределения известно. Тогда с вероятностью γ доверительный интервал заданный формулой

; ),

покрывает неизвестное математическое ожидание. Здесь число t находится из соотношения 2Ф(t)=γ с помощью таблицы интегральной функции Лапласса.
В данной задаче γ=0,99, поэтому 2Ф(t)=0,99, а Ф(t)=0,495, по таблице находим t=2,58.
По условию задачи дисперсия генеральной совокупности D=Dв и, следовательно, σ=σв=5,86. ранее найдены значения n=118, и Хв=23,76. Поэтому можно найти доверительный интервал:

(23,76-1,39; 23,76+1,39)
(22,37; 25,15).
Ответ: Хв=23,76; Dв=34,33; σв=5,86; а (22,37; 25,15).

61. По данным корреляционной таблицы найти условные средние Yx и Xy. Оценить тесноту линейной связи между признаками X и Y и составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y. Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

Y\X 5 10 15 20 25 30 Ny
35 4 2 6
45 5 3 8
55 5 45 5 55
65 2 8 7 17
75 4 7 3 14
Nx 4 7 10 57 19 3 n=100

Найдем условные средние воспользовавшись формулами:

Үx= Xy=
Yx=5= Xy=35=
Yx=10= Xy=45=
Yx=15= Xy=55=
Yx=20= Xy=65=
Yx=25 Xy=75=
Yx=30

Оценка тесноты линейной связи между признаками X и Y производится с помощью коэффициента линейной корреляции r:

Коэффициент r может принимать значения от -1 до +1.
Знак r указывает на вид связи: прямая или обратная. Абсолютная величина |r| на тесноту связи. При r>0 связь прямая, то есть с ростом х растет у.
При r<0 связь обратная, то есть с ростом х убывает у.
Для нахождения rвычислим указанные общие средние: х, у, ху, а также средние квадратические отклонения σх и σу. Вычисления удобно поместить в таблицах, куда вписываем также найденные ранее условные средние.

Значение коэффициента линейной корреляции
Х nx x*nx x2*nx yx
x*nx*yx

5 4 20 100 35 700
10 7 70 700 42.14 2949.8
15 10 150 2250 54 8100
20 57 1140 22800 57.8 65892
25 19 475 11875 66.05 31373.75
30 3 90 2700 75 6750
100 1945 40425 - 115765.55

Y ny y*ny y2*ny xy
y*ny*xy

35 6 210 7350 6.67 1400.7
45 8 360 16200 11.875 4275
55 55 3025 166375 20 60500
65 17 1105 71825 21.47 23724.35
75 14 1050 78750 24.64 25872
100 5750 340500 - 115772.05

С помощью таблиц находим общие средние, средние квадратов, среднюю произведения и среднеквадратические отклонения:

Х=
X2= 5
XY=
Y= 57.5
Y2=
σx= = =
σy= = =9.94

Отсюда коэффициент корреляции равен:

r=

т.к r > 0, то связь прямая, то есть с ростом Х растет Y.
т.к | r | > 0,78 то линейная связь высокая.

Находим линейное уравнение регрессии Y по X:

Yx-57.5=0.78*
Yx=1.52x+27.94

Аналогично находим уравнение регрессии X поY:

Xy-19.45=0.78*
Xy=0.4y-3.55

Данные уравнения устанавливают связь между признаками X и Y и позволяют найти среднее значение признака Yx для каждого значения x и аналогично среднее значение признака Xy для каждого значения y.
Изобразим полученные результаты графически.
Нанесем на график точки (х;ух) отметив их звездочками( ). Нанесем на график точки (ху;у) отметив их кружочками ( ). Построим каждое из найденных уравнений регрессии по двум точкам:

х 5 30
у 35,54 73,54

Yx=1.52x+27.94
х 10,45 26,45
у 35 75

Xy=0.4y-3.55

Обе прямые регрессии пересекаются в точке (х;у). В нашей задаче это точки (19,45; 57,5).
Оценка тесноты любой связи между признаками производится с помощью корреляционных отношений Y по X и X по Y:

ηух=

Дисперсия называемые внутригрупповыми, определены ранее.
Величины называются межгрупповыми дисперсиями и вычисляются по формулам:

Они характеризуют разброс условных средних, от общей средней. В данной задаче:

бх=
бу=

Тогда корреляционные отношения равны:

ηух=
ηху=

Ответ: Корреляционная связь между признаками высокая ее можно описать уравнениями:

Yx=1.52x+27.94,
Xy=0.4y-3.55.