Контрольное задание №1. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева «Затраты-выпуск»)
1.8. Располагая данными об экономической системе, состоящей из четырех экономических объектов P1 P2 P3 ∑ Y X P1 7 10 15 P2 2 15 P3 9 40 ∑ 12 24 Z 20 X 30 50
1.Завершить составление баланса. 2.Рассчитать матрицу коэффициентов прямых затрат, полных затрат, косвенных затрат. 3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям) 4.Рассчитать валовой выпуск на новый ассортимент конечного продукта (20, 20, 10). 5. Рассчитать новую производственную программу каждого экономического объекта.
Решение 1. Составление баланса. 1.1. Используя баланс между производством и потреблением продукции отрасли P1, найдем X1 1.2. Используя соотношение между элементами столбца Р1, найдем
Продолжая аналогичные рассуждения, с помощью MS Excel найдем окончательный вариант
P1 P2 P3 ∑ Y X P1 7 -2 10 15 15 30 P2 2 28 -1 29 15 44 P3 3 -2 9 10 40 50 ∑ 12 24 18 70 Z 18 20 32 70 X 30 44 50 Вычисления в MS Excel
2. Расчет матрицы коэффициентов прямых, полных и косвенных затрат 2.1. Элементы матрицы коэффициентов прямых затрат рассчитаем по формуле (1), получим: Коэффициенты прямых затрат определяются по формуле:
2.2. Проверка условия продуктивности: 0,40 <1, 0,55 <1, 0,36 <1. Экономический смысл продуктивности состоит в том, что существует такой план выпуска продукции, при котором каждая отрасль сможет произвести некоторое количество конечной продукции. Известно, что для продуктивности матрицы А>0 необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы (Е-А) были положительными числами, строго меньше единицы. Кроме того, если сумма элементов каждого из столбцов неотрицательной квадратной матрицы А положительна и строго меньше единицы, то все главные миноры матрицы (Е-А) положительны и строго меньше единицы.
3. Рассчитаем валовой выпуск на новый ассортимент конечного продукта (20, 20, 10) и новую производственную программу. Вычисления с помощью MS Excel
Формулы с помощью MS Excel
Контрольное задание №2. Модели сетевого планирования и управления 1. Построить сетевой график (длина работы - tij ) 2. Выделить критический путь и найти его длину. 3. Определить резервы времени каждого события . 4. Определить резервы времени (полные, частные первого вида, свободные и независимые) всех работ и коэффициенты напряженности работ, не лежащих на критическом пути. 5. Выполнить оптимизацию сетевого графика по времени.
Работы tij dij kij В-18 1,2 10 3 0,6 1,3 4 2 0,1 2,4 9 1 0,4 2,5 5 2 0,8 3,4 10 6 0,5 3,5 5 3 0,2 4,5 3 2 0,6 to=19 Решение - это время, необходимое для выполнения всех работ, предшествующих данному событию i. - это такое время наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети. - это такой промежуток времен, на который может быть отсрочено наступление этого события без на рушения сроков завершения разработки в целом. Значения временных параметров записываются прямо в вершины на сетевом графике следующим образом.
Анализ таблицы и сетевого графика показывает, что критический путь имеет вид (1-2-4-5), а его длина равна tкр=21.
2. Перейдем к определению характеристик работ. Отдельная работа может начаться и окончиться в ранние, поздние или другие промежуточные сроки. В дальнейшем при оптимизации сетевого графика возможно любое размещение работ в заданном интервале.
Анализ таблицы и сетевого графика показывает, что критический путь имеет вид (1-2-4-5), а его длина равна tкр=21. После нахождения критического пути (1-2-4-5) длины 21 перейдем к определению коэффициентов напряженности работ.
Задача решается при помощи функции Сервис - «Поиск решения».
В поле «Установить целевую ячейку» команды «Поиск решения» выделим ячейку со значением целевой функции модели (это будет или ячейка с суммой xij или ячейка t0(n-1,n), т.е. время окончания последней работы).
В поле «Изменяя ячейки» введем адреса переменных модели, выделяя блок этих ячеек (во всех вариантах это будут столбцы tн(ij), t0(ij), xij). Щелкнув по полю Ограничения, после чего вводим ограничения, накладываемые на решение задачи. tоij - tнij dij , tоij - tнij = tij-kij*xij, tнrj tоir будут одинаковы, только в одних вариантах добавится ограничение to n-1,n to, где to берется по варианту (ограничение на время). В окне Параметры поиска решения для решения линейных задач надо установим флажки Линейная модель и Неотрицательные значения.
Нажмем кнопку OK и вернемся в окно команды Поиск решения. Затем нажмем кнопку Выполнить.
Контрольное задание №3. Модели линейного программирования.
Для изготовления четырех видов продукции используются три вида сырья. Исходные данные представлены в таблице 3.3. (Примечание: в исходной таблице заменяется столбец «запасы» или строка «прибыль» в соответствии с номером варианта).
Таблица 3.3
Ресурсы Запас ресурсов, ед. Нормы расхода сырья на единицу продукции А Б В Г 1 21 1 1 1 1 П 200 6 5 4 3 III 210 4 6 10 13 Прибыль от реализации единицы продукции, ден.ед. 60 70 120 130
Необходимо: 1. Записать прямую задачу. Определить план выпуска продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной. 2. Записать двойственную задачу. Получить решение двойственной задачи. Пояснить экономический смысл полученных объективно обусловленных (теневых) оценок ресурсов. 3. Найти интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению запаса ресурсов каждого вида. 4. Определить изменение максимальной прибыли от реализации продукции при увеличении запаса ресурса 1 на 10 ед., ресурса П – на 50 ед. и уменьшении запаса ресурса Ш на 30 ед. Оценить раздельное влияние этих изменений и суммарное влияние. 5. Сопоставить оценку затрат и прибыли по оптимальному плану и каждому виду продукции.
Решение Построим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через ( = 1, 2, 3, 4) количество продукции соответствующего вида, изготовляемого предприятием. При этом целевая функция имеет следующий вид:
Ограничения будут выражены следующими равенствами:
Перейдем к канонической форме задачи линейного программирования, введя дополнительные (балансовые) переменные, означающие возможные остатки ресурсов сырья.
. 2. Решим полученную задачу линейного программирования симплексным методом. Составим начальную таблицу по данным модели. БП Сб А0
60 70 120 130 0 0 0
0 21 1 1 1 1 1 0 0 21
0 200 6 5 4 3 0 1 0
0 210 4 6 10 13 0 0 1
0 –60 –70 –120 –130 0 0 0
Полученный план (0, 0, 0, 0, 21, 200, 210) является опорным но не является оптимальным, т.к. в индексной строке есть отрицательные элементы. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-130) индексной строки указывает, что в новый базис следует ввести переменную . Чтобы определить переменную, выводимую из базиса, составим симплексные отношения и выберем наименьшее из них
Введем в базис переменную вместо переменной
Выполним симплексные преобразования, получим новую таблицу. БП Сб А0
60 70 120 130 0 0 0
0 63/13 9/13 7/13 3/13 0 1 0 -1/13 4,85
0 1970/13 66/13 47/13 22/13 0 0 1 -3/13 89,55
130 210/13 4/13 6/13 10/13 1 0 0 1/13 21
2100 –20 –10 –20 0 0 0 10
План (0, 0, 0, 210/13, 63/13, 1970/13, 0) не является оптимальным, т.к. в индексной строке есть отрицательные индексные оценки, поэтому перейдем к следующему не худшему плану. Наибольший по модулю отрицательный элемент (–20) индексной строки указывает, что в новый базис следует ввести переменную . Чтобы определить переменную, выводимую из базиса, составим симплексные отношения и выберем наименьшее из них
Введем в базис , выведем . БП Сб А0
60 70 120 130 0 0 0
120 21 3 7/3 1 0 13/3 0 -1/3
0 116 0 -1/3 0 0 -22/3 1 1/3
130 0 -2 -4/3 0 1 -10/3 0 1/3
2520 40 110/3 0 0 260/3 0 10/3
Так как в полученной таблице в индексной строке нет отрицательных оценок, то план (0; 0; 21; 0; 0; 116; 0) является оптимальным. Максимальная прибыль предприятия составит 2520 денежных единиц, если оно выпустит 21 единиц продукции 3-го вида, 0 единиц продукции 4-го вида, а продукцию 1-го и 2-го вида выпускать не будет. При этом ресурс 2-го вида будет израсходован не полностью .
Составим модель двойственной задачи. Напишем матрицу исходной задачи и транспонируем её . По теореме двойственности получим. Преобразуем ограничения – неравенства:
По теореме двойственности получим. Функция общая оценка сырья. Каждое ограничение системы, представляет неравенство, где левая часть – оценка всех видов ресурсов, а правая часть – стоимость единицы продукции. Из первой теоремы двойственности следует, что если найдено решение одной задачи, то одновременно найдено и решение двойственной задачи. Запишем каноническую форму математической модели двойственной задачи, введя дополнительные (балансовые переменные) , , , .
Переменные являются базисными, а – свободными. Переменные являются свободными, а – базисными. Сопоставим базисные переменные прямой задачи, свободным переменным двойственной задачи, и наоборот. Соответствие между переменными двойственной задачи имеет вид: . Оптимальный план двойственной задачи имеет вид
. Экономический смысл оптимального решения двойственных задач представлен в следующей таблице.
Оптимальное решение исходной задачи F–> max Объемы производства продукции Остатки ресурсов на складе Х*1 Х*2 Х*3 Х*4 Х*5 Х*6 Х*7 0 0 21 0 0 116 0 Y*4 Y*5 Y*6 Y*7 Y*1 Y*2 Y*3 40 110/3 0 0 260/3 0 10/3 Превышение затрат ресурсов над ценой реализации Двойственные оценки ресурсов Оптимальное решение двойственной задачи Ymin
Из таблицы видно, что полностью используются ресурсы 1 и 3, т.е. являются дефицитными, их остатки равны нулю. Оценки этих ресурсов равны соответственно, Y*1=260/3 и Y*3=10/3. В оптимальном плане первый продукт не выпускается Х*1=0, он является убыточным, т.к. превышение затрат над ценой у него равно Y*4=40, второй продукт не выпускается Х*2=0, он является убыточным, т.к. превышение затрат над ценой у него равно Y*5=110/3. Продукты третий, четвертый выпускаются в оптимальном плане Х*3=21, Х*4=0 и являются неубыточными, превышение затрат над ценой у них Y*6=Y*7=0. При реализации оптимального плана предприятие получит максимально возможную прибыль, равную 2520 ден. ед.
Двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов»: имеется в виду не абсолютная заменяемость ресурсов, а относительная, т.е. заменяемость с точки зрения конечного эффекта и лишь в конкретных условиях данной задачи. В нашем примере относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением (нормой) . Т.е для замены одной единицы первого ресурса, требуется 26 ед. третьего ресурса.
Предельные значения (верхняя и нижняя граница) изменений дефицитных ресурсов (ограничений), при которых двойственные оценки (матрица базисных переменных) в оптимальном плане не меняются Пусть изменения касаются недефицитных ресурсов, базисные переменные которых не равны нулю. Тогда их значения в последней симплексной таблице показывают, на сколько можно уменьшить правые части этих ограничений без изменения оптимального плана. Любое увеличение этих ресурсов не влияет на оптимальный план. Таким ресурсом является второй ресурс с базисной переменной Х6. Допустимые изменения этого ресурса лежат в диапазоне: . Пусть изменения касаются дефицитных ресурсов, которым отвечают свободные переменные. Умножая соответствующие столбцы последней симплексной таблицы на b и складывая с А–столбцом, получаем неотрицательные значения. Соответствующие неравенства определяют диапазоны изменения правых частей соответствующих ограничений. Такими ресурсами будут второй и третий ресурс с базисной переменной Х5 и Х7. Допустимые изменения этих ресурсов определяются из неравенств
Откуда
Поскольку второй ресурс не является дефицитным , то его приращение нецелесообразно.
Приращение ресурса первого вида , даст прирост целевой функции на . Затраты на приобретение 10 ед. ресурса первого вида составят: . Величина дополнительной прибыли составит: (положительна). Следовательно, приращение ресурса первого вида 10 ед. даст прирост прибыли на 1565,67 ден.ед.
Уменьшение ресурса третьего вида , даст прирост целевой функции на . Затраты на приобретение -30 ед. ресурса третьего вида составят: . Величина дополнительной прибыли составит: . Следовательно, уменьшение ресурса третьего вида на 30 даст увеличение прибыли на 6200 ден.ед. Целевая функция изменится на величину ден. ед.
Анализ устойчивости решения Рассмотрим отчет по устойчивости. Этот отчет содержит сведения о чувствительности решения к малым изменениям в формуле для целевой функции и в формулах ограничений.
Нормированная стоимость показывает изменение целевой функции при увеличении соответствующей переменной на единицу. Например, если ввести А = 1, то величина целевой функции изменится на 40. Допустимое увеличение и уменьшение определяют интервал изменений коэффициентов целевой функции, внутри которого сохраняются значения переменных оптимального плана. В разделе отчета «Ограничения» теневые цены это двойственные оценки ресурсов, а Допустимое увеличение и уменьшение показывают допустимые диапазоны изменения правых частей ограничений, в пределах которых в оптимальный план входят те же переменные, хотя возможно и с другими значениями. Любое увеличение ресурса П, поскольку этот ресурс недефицитный, (величина 1Е+30 выполняет роль бесконечности), не влияет на оптимальный план, однако уменьшение этого ресурса более чем на 116 единиц приведет к изменению структуры решения.
Контрольное задание №4. Транспортная задача или Модели управления запасами
Решение. Построим экономико-математическую модель задачи. Запасы поставщиков: 60+70+50 = 180, Потребности: 40+30+20+50 = 140. Имеем задачу открытого типа.
Обозначим через количество единиц груза, направляемые от i-го поставщика к j-му потребителю. При этом целевая функция имеет следующий вид:
Ограничения будут выражены следующими равенствами:
Суммарные затраты составят 300 ден. ед. По плану первый поставщик отправит 40 ед. продукции первому потребителю, 20 ед. продукции второму потребителю. Второй поставщик отправит 10 ед. продукции второму потребителю и 20 ед. продукции третью потребителю, 40 ед. останутся невостребованными. Третий поставщик отправит 50 ед. продукции четвертому потребителю.
Контрольное задание №5. Модель множественной линейной регрессии
В таблице для каждого варианта заданы три временных ряда: первый из них представляет ВНП (млрд $) за 10 лет уt, второй и третий ряд – потребление (млрд $) х1t и инвестиции(млрд $) х2t.
Требуется: 1. Вычислить матрицу коэффициентов парной корреляции и проанализировать тесноту связи между показателями. 2. Построить линейную и нелинейную модели регрессии, описывающие зависимость уt от факторов х1t и х2t 3. Оценить качество моделей. Вычислить среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации. 4. Проанализировать влияние факторов на зависимую переменную (β-коэффициент) и оценить их значимость, найти доверительный интервал. 5. Проверить остатки на нормальность распределения. 6. Определить точечные прогнозные оценки ВНП для 5 наблюдений (объясняющие переменные задать самостоятельно).
Рассмотрим решение этой задачи с помощью системы Excel. Найдем коэффициент корреляции между переменными X1. Х2 и Y, введем данные в таблицу Excel и вызовем пакет Анализ данных, где выберем режим Корреляция.
Значения коэффициента корреляции между показателями
Парные коэффициенты корреляции показывают тесноту корреляционной связи как между факторными и результативными признаками, так и между признаками- факторами. В нашем случае связь между (Y) и (Х1) равна 0,289 является прямой, слабой и на (0,52892 ~ 0,084) 8,4% изменения фактора Y объясняется изменениями фактора X1; связь между (Y) и (Х2) –0429 является слабой и на (0,4292 ~ 0,184) 18,4% изменения фактора Y объясняется изменениями фактора X2; связь между (Х1) и (Х2) равна 0,735 является умеренной следовательно результативным признаком является (Y), первым факторным признаком - (Х1), и вторым факторным признаком - (Х2) Рассчитаем параметры уравнения регрессии
Таким образом, модель линейной регрессии имеет вид:
В модели коэффициент детерминации не является высоким R2 = 0,185, т.е. почти на 18,5% модель объясняет зависимость между переменными. Значения F-статистики (0,797) выглядит недопустимым, поскольку уровень значимости для нее (0,488) остается близким к 5%-ного предела, принятого для табличных F-статистик. Следовательно, есть основания ожидать, что F-наблюдаемое будет больше Fкрит. Оценим значимость регрессионных коэффициентов – t-статистики по модулю недостаточно высоки и кроме того не превышают t(таб) = 0,59. Стандартная ошибка модели SE равна 20,158, стандартные ошибки коэффициентов равны SE(β0)=46,328, SE(β1)=1,663, SE(β2)=1,206. Доверительные интервалы коэффициентов (с уровнем доверительной вероятности 0,95) равны (-93,423; 125,673) для β0, (-4,12; 3,744) для β1 и (-1,723; 3,979) для β2 Прогнозные значения находятся путем ввода формулы в таблицу Excel.
Проверим остатки на нормальность распределения Графики остатков
Построенное уравнение регрессии достаточно грубо описывает значения переменной Y. Остатки распределены нормально.
