N2/4 Определить предел абсолютной и относительной погрешности измерения тока, если измерения проводились магнитоэлектрическим прибором с классом точности γ=0,2 и пределом измерения A=±75 мА. Результат измерения Q=21,5 мА. Миллиамперметр с нулём в середине шкалы.
Решение
1. X_N=2⋅75=150 мА – нормирующее значение; Значение абсолютной погрешности будет равно:
γ=(∆)/X_N ⋅100%; (2.1)
∆=(X_N⋅γ)/(100%)=(150⋅0,2)/100=0,3 мА; (2.2)
Где γ - приведённая погрешность (класс точность прибора); ∆ - абсолютная погрешность. 2. Значение относительной погрешности будет равно:
δ=∆/Q 100%= 0,3/21,5⋅100=1,4%; (2.3)
Ответ: ∆=±0,3 мА, δ=1,4%.
N7/0 Оценить инструментальные погрешности измерения тока двумя магнитоэлектрическими амперметрами с классами точности γ_1=2,5 и γ_2=2,0 и указать, какой из результатов получен с большей точностью, а также могут ли показания I_1=72 мА и I_2=79 мА исправных приборов отличаться так, как задано в условии. Приборы имеют нули в середине шкалы и пределы измерения A_1=±100 мА и A_2=±150 мА.
Решение 1. Найдём значения абсолютных погрешностей для двух приборов. X_N1=2⋅100=200 мА – нормирующее значение для первого амперметра; X_N2=2⋅150=300 мА – нормирующее значение для второго амперметра; Значение абсолютной погрешности будет равно:
γ=∆/X_N ⋅100%; (7.1)
∆_1=(X_N1⋅γ_1)/(100%)=(200⋅2,5)/100=5,0 мА; (7.2)
∆_2=(X_N2⋅γ_2)/(100%)=(300•2,5)/100=7,5 мА; (7.3)
Где γ - приведённая погрешность (класс точность прибора); ∆ - абсолютная погрешность. 2. Значение относительных погрешностей двух амперметров будет равно:
δ_1=∆_1/X_1 ⋅100%= 5,0/72⋅100=6,9%; (7.4)
δ_2=∆_2/X_2 ⋅100%= 7,5/79⋅100=9,5%; (7.5)
Вывод: результат, измеренный с помощью первого амперметра, получен с большей точностью. Показания исправных приборов могут так отличаться, т.к. в первом случае максимальное значение тока может быть равно I_1+∆_1=77 мА, а во втором случае минимальное значение тока может быть равно I_2-∆_2=71,5 мА. Из этого следует, что доверительные интервалы измеренных значений пересекаются, и истинное значение силы тока лежит в пределах [71,5;77].
N9/4 Требуется выбрать магнитоэлектрический амперметр со стандартными пределами измерения и классом точности, при условии, что полученный результат измерения напряжения должен отличаться от истинного значения I=8,5 мА не более, чем на ∆=±0,3 мА.
Решение
1. Выберем стандартный предел измерения 10 мА из ряда 1, 3, 10, 30… 2. Выберем стандартный класс точности. Для этого рассчитаем значение приведённой погрешности:
γ=∆/X_н ⋅100%= 0,3/10⋅100=3 (9.1)
Где X_н - нормирующие значение, принятое равным пределу измерения. Выберем ближайший класс точности 2,5.
Вывод: был выбран стандартный предел измерения 10 мА. Это связано с тем, что измеренное значение должно быть как можно ближе к значению предела измерения, т.к. при его увеличении в большую сторону и неизменном результате измерения повышается относительная погрешность. Был выбран стандартный класс точности 2,5. Он был выбран меньше значения рассчитанной приведённой погрешности для увеличения точности средства измерения.
N14/4 В процессе обработки результатов прямых измерений силы тока определено: среднее арифметическое значение этой силы тока X ̅=8,49 мА, среднее квадратическое отклонение результата отклонения σ_x=0,20 мА, границы неисключенных остатков трёх составляющих систематической погрешности ∆_c1=0,56 мА, ∆_c2=0,35 мА, ∆_c3=0,20 мА. Требуется определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать его в соответствии МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Значение доверительной вероятности принять P_д=0,95. При расчётах полагать, что случайная погрешность пренебрежительно мала, а число наблюдений существенно больше 30.
Решение 1. Доверительные границы случайной составляющей:
∆=t⋅σ ̂_x=1,96⋅0,20=0,392 мА (14.1)
Где t=1,96 - коэффициент Стьюдента при количестве измерений N>30.
2. Определяем доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения (14.2) где m - число суммируемых погрешностей; - граница i-й неисключенной систематической погрешности; k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. При доверительной вероятности Рд = 0,95 коэффициент k принимают равным 1,1.
3. Определим границы суммарной погрешности результата измерения. а) Находим отношение:
(14.4)
б) В случае если < 0,8, то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница . Если > 8, то пренебрегают случайной погрешностью по сравнению с систематическими и принимают, что граница погрешности результата = с. Погрешность, возникающая из-за пренебрежения одной из составляющих погрешности результата измерения при выполнении указанныx неравенств, не превышает 15 %. в) В случае, если неравенства п. б) не выполняются (0,8 8), то границу погрешности результата измерения находят путём построения композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины. 4. Определим границы суммарной погрешности результата измерения. Границы погрешности результата измерения (без учета знака) вычисляют по формуле (14.5)
где К- коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей; - оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения. Значение вычисляют по формуле
Определяем доверительные границы суммарной погрешности результата измерения
Δ=K_∑ σ ̂_∑=1,924•0,446=0,857 мА Δ(14.8)
5. Записываем результат измерения. Так как погрешность симметрична относительно результата измерения, то
I=(8,49 0,86) мА, Рд = 0,95 (14.9)
Ответ: I=(8,49 0,86) мА, Рд = 0,95. N18/4 Сопротивление R_x определялось косвенным методом путём многократных измерений (n=19) падения напряжения на нём U_x=19,37 B и падения напряжения U_0=3,498 B на последовательно соединенным с ним образцовом резисторе R_0=1,0 кОм с последующим расчётом R_x=(R_0⋅U_x)/U_0 . Оценки средних квадратических отклонений среднего арифметического σ ̂_(U_x )=0,36 В, σ ̂_(U_0 )=0,04 В, оценка коэффициента корреляции между погрешностями измерений R ̂_(U_x U_0 )=0. Определить случайную погрешность результата косвенного измерения с доверительной вероятностью Рд = 0,95 и записать результат по одной из установленных форм.
Решение 1. Находим значение результата косвенного измерения напряжения
R_x=(R_0⋅U_x)/U_0 =(1,0⋅19,37)/3,498=5,54 кОм (18.1)
2. Определяем частные случайные погрешности косвенного измерения
3. Вычисляем оценку среднего квадратического отклонения результата косвенного измерения:
σ ̂_R ̅ =√(E_Ux^2+E_U0^2+E_Ux E_U0 R_UxU0 )=
=√(〖0,103〗_^2+〖(-0,063)〗_^2 )=0,121 кОм (18.4)
4. Определяем значение коэффициента Стьюдента t для заданной до-верительной вероятности Рд и числа наблюдений n. При n 30 предварительно должно быть определено так называемое «эффективное» число степеней свободы распределения Стьюдента, Оно определяется из выражения
, (18.5)
где ni - число наблюдений при прямых измерениях xi . - относительная оценка среднеквадратического отклонения Для решаемой задачи в) При получении дробного значения nэфф для нахождения коэффициента Стьюдента применяем линейную интерполяцию:
, (18.6)
где t1, t2 и n1, n2 - соответствующие табличные значения коэффициента Стьюдента и числа наблюдений (для заданной Рд), между которыми находится значение nэфф. Для решаемой задачи при nэфф =7,1 и Рд = 0,95 находим n1 = 7, t1 = 2,365, n2 = 8, t2 = 2,306, а затем вычисляем значение t = 2,36. 5. Вычисляем доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения:
∆ ̇=t⋅σ ̂_x ̅ =2,36⋅0,121=0,285 кОм (18.7)
6. Записываем результат измерения:
кОм Рд=0,95. (18.8)
7. Проанализируем полученные результаты с использованием критерия ничтожных погрешностей. В соответствии с этим критерием, если частная погрешность меньше 1/3 суммарной погрешности, то она является «ничтожной» и может быть исключена из рассмотрения. Для решаемой задачи E_(U_x )>σ_R/3; E_(U_0 )>σ_R/3; Следовательно частные погрешности E_(U_x ) и E_(U_0 ) не считаются «ничтожными», и ими нельзя пренебречь.
Ответ: кОм Рд=0,95.
N24/3 На основе МЭИМ с внутренним сопротивлением R_i=1,98 кОм, ценой деления C_i=1,0 мкА/дел и шкалой с N=150 делениями необходимо создать вольтамперметр с пределами измерения по току I_A=30 мА, по напряжению U_V=7,5 В. Рассчитать сопротивление шунта и добавочного резистора, определить цену деления по току C_I и по напряжению C_U, начертить принципиальную схему вольтамперметра. Решение 1. Рассчитаем пределы измерения вольтамперметра по току и напряжению:
N28/7 В процессе измерения напряжения в цепи (рисунок 3), получен результат U_x=9,2 В. Определить методическую погрешность измерения и действительное значение падения напряжения U на резисторе R_н=16 кОм. R_V=50 кОм, R_0=3,3 кОм.
Решение 1. Схема измерения представлена на рисунке 3:
Рисунок 3 – Схема измерения
2. Методическая погрешность рассчитывается по следующей формуле:
3. Действительное значение падения напряжения будет равно:
U=U_x/(1+δ_V/100)=9,2/(1-0,0519)=9,7 В (28.2)
Ответ: δ_V=-5,19%, U=9,7 В.
№30/5 Необходимо определить пиковое Um, среднее квадратическое Uск и средневыпрямленное UСВ значения напряжения, поданного на вход электронного вольтметра с классом точности γ=2,5 , с пиковым детектором, закрытым входом, со шкалой, проградуированной в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения после однополупериодного выпрямителя. Показание вольтметра U = 15,7 мВ. Сигнал характеризуется коэффициентами амплитуды Ка = 2 и формы Кф = 1,76, и подан в положительной полярности. Оценить также пределы основных инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения U, выбрав необходимый предел измерения из ряда предпочтительных чисел ... 3; 10; 30; 100 ... В.
Решение 1. Так как вольтметр имеет закрытый вход, то измеряется только значение переменной составляющей сигнала Um, равное Um= Ка U = 1,41U, (детектор пиковый, а шкала вольтметра проградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения). 2. Амплитудное значение напряжения определяется как сумма переменной и постоянной составляющих (средневыпрямленного значения):
4. Среднеквадратическое значение напряжения будет равно:
U_ск=U_св⋅K_ф=8,78⋅1,76=15,5 мВ (30.4)
Выберем стандартный предел измерения, равный 30 мВ. При увеличении предела измерения при неизменном классе точности увеличивается значение относительной погрешности. Тогда нормированное значение X_N=30 мВ и приведённая погрешность γ=2,5 % (класс точности). 5. Вычислим значение абсолютной погрешности:
N44/4 Определить частоту сигнала, поданного на вход Z осциллографа, если на входы X и Y поданы сигналы синусоидальной формы частотой f=1,0 кГц, сдвинутые по фазе относительно друг друга на 〖90〗^°. Количество разрывов изображения n=4. Привести также вид осциллограммы и структурную схему эксперимента.
Решение
Рисунок 4 – вид осциллограммы
Число разрывов n (или другими словами число чередующихся светлых полос и темных промежутков осциллограммы) однозначно определяет отношение fz / fx. Частота сигнала, поданного на вход Z (fz), будет связана с частотой сигналов, поданных на вход X и Y (fx), следующим соотношением:
fz = n×fx = 4×1,0 = 4,0 кГц (44.1)
Рисунок 5 – структурная схема эксперимента
Ответ: fz = 4,0 кГц.
№53/4 Требуется выбрать схему измерительного моста для измерения ёмкости конденсатора с большими потерями, записать для нее условие равновесия, получить из него выражения для Сх, R_x и определить их. При этом измеряемый элемент заменить соответствующей эквивалентной схемой, трансформировав при необходимости схему моста. На окончательной схеме показать в виде переменных элементы (резисторы, конденсаторы и т.д.), с помощью которых обеспечивается уравновешивание мостовой измерительной цепи и обеспечивается прямой отсчет заданных в условии измеряемых величин. Частота питающего напряжения 1 кГц. Характеристики моста: R2 = 560 Ом, R3 = 7,5 Ом, R4 = 9,1 Ом, C4 = 3,3 нФ. Прямой отсчет Сх и Rx. Решение 1. Выберем параллельную схему замещения типа МЕП, которая представлена на рисунке:
Для измерения ёмкости целесообразно регулировать R_3, т.к. тем самым обеспечивается прямой отсчёт C_x. Для измерения сопротивления следует производить регулировку R_4, т.к. тем самым обеспечивается прямой отсчёт R_x.
Ответ: C_x=44,2 нФ, R_x=680 кОм.
Литература
Метрология и электрорадиоизмерения в телекоммуникационных системах : учеб. пособие / под общ. ред. Б. Н. Тихонова. – М. : Горячая линия- Телеком, 2007. – 374 с. Гуревич, В. Л. Основы стандартизации : метод. пособие в 2 ч. Ч. 1 / В. Л. Гуревич, Ю. А. Гусынина. – Минск : БГУИР, 2009. – 92 с. Гуревич, В. Л. Международная стандартизация: учеб. пособие для студ. специальности 54 01 01-02 «Метрология стандартизация и сертификация (радиотехника, информатика и связь)» / В. Л. Гуревич, С. В. Ляльков, О. И. Минченок. – Минск : БГУИР, 2002. – 55 с. Елизаров, А. С. Электрорадиоизмерения / А. С. Елизаров. – Минск : Выш. шк., 1986.
