Контрольная работа №7. Ряды. Задания №№ 313, 323, 333, 343, 353. Задание 313 Исследовать сходимость числового ряда
Решение Воспользуемся признаком Даламбера
Следовательно, по признаку Даламбера ряд расходится. Ответ: ряд расходится.
Задание 323 Найти интервал сходимости степенного ряда
Решение Найдём радиус сходимости степенного ряда
Следовательно, при |x| ˂ 1/e ряд сходится, а при |x| ˃ 1/e ряд расходится. При |x| = 1/e получаем ряд По формуле Стирлинга при , поэтому ряд эквивалентен ряду , который расходится, Ряд сходится при и расходится при . При получаем ряд . По формуле Стирлинга и по признаку Лейбница, данный ряд сходится условно, так как он (начиная с некоторого члена) знакопеременный, и модуль общего члена ряда монотонно стремится к нулю. Ответ:
Задание 333 Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001
Решение Используем разложение = Подставим вместо x выражение
Полученный ряд на отрезке [0;1] сходится равномерно, так как на этом отрезке он меньше сходящегося числового ряда Следовательно, полученное интегрирование законно
Полученный ряд является рядом Лёйбница, поэтому модуль остатка ряда не превосходит модуля первого отбрасываемого члена
Более точно , т.е. точность 0,001 достигнута. Ответ:
Задание 343 Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию , y(0) = 3 Решение Подставим начальное условие в дифференциальное уравнение
Продифференцируем уравнения, считая y = y(x)
Три первых ненулевых члена найдено
Ответ:
Задание 353 На интервале задана периодическая с периодом 2π функция f(x). Требуется: 1) Разложить функцию f(x) в ряд Фурье 2) Построить график суммы ряда Фурье
Решение
еcли k = 2n, то если то
Контрольная работа № 8. Функции комплексной переменной и операционное исчисление. Задания №№ 363, 373, 383, 393, 403, 413, 423. Задание 363 Представить заданную функцию w = f(z), где z = x+ iy, в виде w = u(x,y)+i(x,y); проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение её производной в заданной точке w = Решение Пусть z= x+yi, тогда
u (x,y) = v (x,y) = 3 Проверим выполнение условий Коши-Римана
Условия Коши-Римана выполняются, следовательно, f(z) аналитическая функция. Подставим x=0 и y=1, получим
Ответ: -2.
Задание 373 Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности точки , Решение Точка существенно особой точкой. Сначала разложим функцию
Область сходимости
Задание 383 Определить область (круг) сходимости данного ряда и исследовать сходимость его в точках , , .
Решение
Следовательно, при ряд сходится абсолютно, а при ряд расходится
ряд сходится абсолютно Если , то получаем ряд - ряд сходится абсолютно, так как ряд из модулей сходится
Задание 393 При помощи вычетов вычислить данный интеграл по контуру l , Решение По теореме о вычетах данный интеграл равен 2πi , умноженному на сумму вычетов во всех особых точках, лежащих внутри контура. Внутри контура лежат полюс первого порядка и полюс второго порядка
Тогда
Задание 403 Найти изображение заданного оригинала
Решение
Применим 2 раза теорему о дифференцировании изображения
Ответ:
Задание 413 Найти изображение заданного оригинала
Решение
Тогда по теореме об интегрировании изображения
По теореме об интегрировании оригинала
Задание 423 Методом операционного исчисления найти частное решение дифференцированного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям , Решение Пусть т.е. Тогда
