Вариант 13. Задача №1. Обработать ряд наблюдений, полученных в результате многократных прямых измерений физической величины (ФВ), и оценить случайную погрешность измерений, считая результаты исправленными и равноточными. Результат измерения представить по одной из форм МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Вид ФВ - напряжение, ее размерность - мкВ, число наблюдений N=15, первый элемент выборки ряда J=10 взять из таблицы по предпоследней цифре шифра зачетной книжки студента, номер ряда взять из таблицы по последней цифре шифра. Доверительную вероятность принять Рд = 0,99 - для нечётных вариантов. Берем из таблицы 3-й ряд и выбираем 15 членов с 10-го по 24-й включительно. Решение: Таблица 1. i Xi Vi Vi2 1 10,2688 -0.1771 0.0314 2 10,6268 0.1809 0.0327 3 10,7516 0.3057 0.0934 4 10,3913 -0.0546 0.0030 5 10,3496 -0.0963 0.0093 6 10,2725 -0.1734 0.0301 7 10,2539 -0.1920 0.0369 8 10,3990 -0.0469 0.0022 9 10,2790 -0.1669 0.0279 10 10,5937 0.1478 0.0218 11 10,7457 0.2998 0.0899 12 10,3457 -0.1002 0.0100 13 10,6968 0.2509 0.0629 14 10,2640 -0.1819 0.0331 15 10,4506 0.0047 2.1778e-5 Так как в условии задачи указано, что результаты измерения являются исправленными и равноточными, то производить исключение систематических погрешностей нет необходимости. Вычислим среднее арифметическое результатов наблюдений:
Значение принимается за результат измерения. Определим случайные отклонения результатов отдельных наблюдений.
Результаты занесем в таблицу 1. Правильность вычислений и определяем по формуле . Если , то имеют место ошибки в вычислениях. Вычислим оценку среднего квадратичного отклонения результатов наблюдений .
С помощью критерия грубых погрешностей (критерий «трех сигм») проверяем наличие грубых погрешностей. Если , то такое наблюдение содержит грубую погрешность и его необходимо исключить. . Из таблицы 1 видно, что грубые погрешности отсутствуют. Определим оценку среднего квадратического отклонения результата измерения :
Критерий 1. Вычисляем смещённую оценку среднего квадратического отклонения по формуле мкВ. Вычисляем параметр . Результаты наблюдений можно считать распределенными нормально, если , где и - квантили распределения. Выбираем уровень значимости q равным 1 %. Из таблицы находим = 0,9137, = 0,6829. Сравнивая полученное значение с этими величинами, делаем вывод о том, что по критерию 1 результаты наблюдений распределены по нормальному закону. Критерий 2. Этот критерий используется дополнительно для проверки «концов» распределений. Гипотеза о нормальности по критерию 2 не отвергается, если не более m разностей Vi превзошли значение , где верная квантиль распределения нормированной функции Лапласа отвечает вероятности P/2. Для решаемой задачи выбираем уровень значимости q2 = 1% и для n = 15 P = 0,99 и m = 1. Тогда находим ZP/2 = 2,58. Отсюда = 0.355 мкВ. Согласно критерию 2 не более (m = 1) разности Vi могут превзойти значение 0,355 мкВ. По данным, приведенным в таблице 2, видим, что ни одно V не превышает критическое значение. Следовательно, критерий 2 выполняется. Таким образом, с уровнем значимости q q1+ q2 = 0,1 гипотеза о нормальности полученных данных согласуется с данными наблюдений. По заданной доверительной вероятности РД=0,99 и числу степеней свободы (n-1)=14 распределения Стьюдента определим коэффициент t:
Рассчитаем границы случайной погрешности результата измерения:
Запишем результат измерения:
Задача №2. Необходимо определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать его по МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Значение доверительной вероятности принять Рд = 0,99 для нечётных вариантов. При расчётах полагать, что случайные погрешности распределены по нормальному закону, а число наблюдений существенно больше 30. В процессе обработки результатов прямых измерений напряжения U определено (все значения в вольтах): среднее арифметическое ; среднее квадратическое отклонение результата измерения ; границы неисключенных остатков двух составляющих систематической погрешности и Решение: Рассчитываем доверительные границы случайной погрешности результата измерения:
Для РД=0,99 и n>30 коэффициент Стьюдента t=2,576. Тогда . Определим доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения:
где m − число суммируемых погрешностей; − граница i-ой неисключенной погрешности; к − коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. При доверительной вероятности Рд = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырёх (m >4). Если число суммируемых погрешностей m4, то коэффициент k определяют по графику зависимости (рисунок) k=f(m, l), где m - число суммируемых погрешностей; ; кривая 1 - для m =2; кривая 2 - для m = 3; кривая 3 - для m = 4.
График зависимости k = f(m, l). При трёх или четырёх составляющих в качестве принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других. В качестве следует принять ближайшую к составляющую. Для нашей задачи . Используя первую кривую графика, находим k = 1,28.
Вычислим алгебраическую сумму систематических погрешностей:
За оценку неисключенной систематической погрешности принимаем то из значений , которое меньше. Таким образом, . Найдем отношение: , значит граница погрешности результата будет: , Где – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей. – оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.
Коэффициент вычисляют по эмпирической формуле:
Определим доверительные границы суммарной погрешности результата измерения:
Запишем результат измерения:
Задача №6. В процессе обработки результатов прямых измерений частоты f определено (все значения в кГц): среднее арифметическое кГц; среднее квадратическое отклонение результата измерения кГц границы неисключенных остатков трёх составляющих систематической погрешности кГц, кГц и кГц. Необходимо определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать его в соотсетствии МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Значение доверительной вероятности РД=0.99 – для нечетных вариантов. Случайные погрешности распределены по нормальному закону, а число наблюдений существенно больше 30. Решение: Рассчитываем доверительные границы случайной погрешности результата измерения:
Для РД=0,99 и n>30 коэффициент Стьюдента t=2,576[1]. Тогда . Определим доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения: , где m − число суммируемых погрешностей; − граница i-ой неисключенной погрешности; к − коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. При доверительной вероятности Рд = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырёх (m >4). Если число суммируемых погрешностей m4, то коэффициент k определяют по графику зависимости (рисунок) k=f(m, l), где m - число суммируемых погрешностей; ; кривая 1 - для m =2; кривая 2 - для m = 3; кривая 3 - для m = 4.
График зависимости k = f(m, l). При трёх или четырёх составляющих в качестве принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других. В качестве следует принять ближайшую к составляющую. Для нашей задачи . Используя вторую кривую графика, находим k = 1,38.
Вычислим алгебраическую сумму систематических погрешностей:
За оценку неисключенной систематической погрешности принимаем то из значений , которое меньше. Таким образом, . Найдем отношение: . Значит, граница погрешности результата будет [2]: , Запишем результат измерения:
Задача №15. Необходимо, воспользовавшись результатами обработки прямых измерений, продолжить обработку результатов косвенного измерения и, оценив его случайную погрешность, записать результат по МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Емкость конденсатора С измерялась косвенным методом путём многократных измерений емкостей С1 и С2 с учётом зависимости . При обработке принять , нФ; , нФ; , нФ; , нФ; . n=11, РД=0,99. Решение: Значение результата косвенного измерения:
Оценка среднего квадратичного отклонения результата косвенного измерения:
Проанализируем полученные результаты с использованием критерия ничтожных погрешностей. В соответствии с этим критерием, если частная погрешность меньше 1/3 суммарной погрешности, то она является «ничтожной» и может быть исключена из рассмотрения. Для решаемой задачи . Следовательно, является «ничтожной» погрешностью, и ей можно пренебречь.
Для определения значение коэффициента Стьюдента t для заданной доверительной вероятности РД=0,99 и n=11 предварительно должно быть определено “эффективное” число степеней свободы:
Применим линейную интерполяцию: , где t1, t2 и n1, n2 − соответствующие табличные значения коэффициента Стьюдента и числа наблюдений, между которыми находится значение . При и РД=0,99 n1=14, t1=2,977, n2=16 t2=2,921 [1].
Определим доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения:
Запишем результат измерения:
Задача №29. Необходимо определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения тока или напряжения, если измерения проводились магнитоэлектрическим прибором с классом точности и пределом измерения А. Результат измерения В, вольтметр с нулём в середине шкалы, класс точности , предел 75 В . Решение: Для магнитоэлектрического вольтметра класс точности определяется значением максимальной приведенной погрешности: [2]:
Предел инструментальной абсолютной погрешности:
Вольтметр имеет равномерную шкалу с нулем в середине шкалы, поэтому .
Задача №39. На основе МЭИМ с внутренним сопротивлением , ценой деления и шкалой с N=150 делениями необходимо создать вольтметрамперметр с пределами измерения по току и напряжению . Рассчитать сопротивление шунта и добавочного резистора, определить цену деления по току и по напряжению ., начертить принципиальную схему вольтамперметра. Решение: рис. 1 рис.2 Принципиальная схема вольтамперметра [3]:
Для расширения пределов измерения по току параллельно МЭИМ включают низкоомные резисторы-шунты. В результате ток IН через механизм становится меньше тока в измерительной цепи в m = IА/IН раз. Сопротивление шунта, необходимое для расширения пределов измерения по току с IН до IА, будет равно
Величина, обратная чувствительности, называется ценой деления шкалы МЭИМ по току:
IН — ток полного отклонения (номинальный ток).
Шкала изменится до значения Расширение пределов измеряемого напряжения достигается путем последовательного включения добавочного резистора Rд. В результате падение напряжения на МЭИМ уменьшается, а предел измерения расширяется в m=UV/U раз. Сопротивление добавочного резистора Rд на заданный предел рассчитывается по формуле: RД= Ri•(m-1) [B]
RД= 1,98•(25-1)=48 кОм МЭИМ может выполнять функции вольтметра с пределом UН = IН•Ri. Цена деления МЭИМ по напряжению:
Задача №52. Напряжение сигнала неизвестной формы измерялось тремя вольтметрами, вольтметры имеют открытые входы, шкалы их проградуированы в средних квадратических значениях синусоидального напряжения, детекторы, соответственно, пиковый, среднего квадратического и средневыпрямленного значений. Определить коэффициенты амплитуды и формы, если показания вольтметров с детекторами: пикового значения U1=72 мВ, среднеквадратического значения U2=58 мВ и средневыпрямленного значения – U3=49 мВ. Решение: Пиковое значение напряжения можно определить по показанию вольтметра с пиковым детектором, учитывая градуировочный коэффициент:
Среднеквадратическое значение напряжения находим по показанию вольтметра с детектором среднеквадратичного значения (градуировочный коэффициент =1, т. к. тип детектора и шкалы совпадают):
Средневыпрямленное значение напряжения находим, зная показания вольтметра с детектором средневыпрямленного значения и учитывая, что шкала его отградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения:
Определяем искомые значения коэффициентов амплитуды и формы измеряемого напряжения:
Задача №64. Определить относительную и абсолютную погрешность измерения периода Тх универсальным цифровым частотомером, если период счетных импульсов Т0, нестабильность частоты кварцевого генератора о. Значения Тх=285 мс, То=1,0 мкс, о = . Решение: Относительная погрешность измерения периода:
N − число подсчитанных импульсов. Относительная погрешность измерения периода в %:
Абсолютная погрешность измерения периода:
Задача №74. По приведенной на рисунке в масштабе 1:1 осциллограмме необходимо определить параметры сигналов, указанных в условии задачи. Значения коэффициентов отклонения Кв=0,5 мВ/дел и развертки Кр=0,1 мкс/дел . Определить период и длительность фронта импульса. Решение:
Период сигнала и длительность фронта импульса измеряется между отсчетными точками на значении 0,1 и 0,9 амплитуды наблюдаемого изображения [2]. Период сигнала:
Длительность фронта импульса: мкс
Задача №83. Необходимо по типу измеряемого элемента выбрать схему моста, записать для нее условие равновесия, получить из него выражения для Сх, Rх, tg или Lx, Rx, Q и определить их. При этом измеряемый элемент заменить соответствующей эквивалентной схемой, трансформировав при необходимости схему моста. На окончательной схеме показать в виде переменных элементы (резисторы, конденсаторы и т.д.), которыми его следует уравновешивать, чтобы обеспечить прямой отсчет заданных в условии величин. Частота питающего напряжения 1 кГц. Определить абсолютные погрешности однократного измерения Сх, Rх, tg или Lx, Rx, Q из-за неидеальности образцовых мер R2=1100 Ом, R3=1 кОм, R4=16 кОм, C3=82 нФ, если средние квадратические отклонения случайных погрешностей этих мер R2=0,8 Ом, R3=0,6 Ом, R4=2,6 Ом, C3=0,08 нФ. Значение доверительной вероятности принять Рд= 0,99.
Конденсатор с большими потерями. Прямой отсчет Сх и Rх. Решение: Параллельная схема замещения соответствует большим потерям в конденсаторе.
Условие равновесия моста запишется в виде
Преобразовав его и отдельно приравняв действительные и мнимые части, получим выражения для Rx, Cx.
Оценка среднего квадратичного отклонения результата косвенного измерения:
Коэффициент Стьюдента t для однократных измерений и заданной доверительной вероятности РД=0,99 равен [2]. Определим доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения:
Запишем результат измерения:
Задача №92. Изменение емкости конденсатора Сх проводилось резонансным измерителем параметров двухполюсников с использованием метода замещения. Изменяемый конденсатор включался параллельно образцовому конденсатору измерителя. Определить значение Сх, если при отсутствии конденсатора Сх получено значение емкости образцового конденсатора С01, а при подключении конденсатора Сх - С02. Оценить абсолютную погрешность измерения Сх, если среднее квадратическое значение случайной погрешности при отсчете емкости образцового конденсатора составляет С0. Значения С01= 273 пФ, С02= 129 пФ и С0= 0,6 пФ. Значение доверительной вероятности Рд= 0,99. Решение: При параллельном подключении исследуемого двухполюсника с образцовым конденсатором измеряемое значение Cx находится из формулы:
Оценка среднего квадратичного отклонения результата косвенного измерения:
Коэффициент Стьюдента t для однократных измерений и заданной доверительной вероятности РД=0,99 равен [2]. Определим доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения:
Запишем результат измерения:
Задача №107. Рассчитайте коэффициенты применяемости и повторяемости цифрового вольтметре по данным, приведенным в таблице. Таблица Количество типоразмеров (в единицах) Количество деталей (шт.) Общее Нормализованных деталей Заимствованных деталей Покупных деталей Общее Оригинальных 82 9 21 42 1028 181 Решение: Как известно, коэффициент применяемости , характеризующий уровень преемственности составных частей в разрабатываемом изделии вычисляется по формуле:
где n — общее количество типоразмеров составных частей, n0 — количество оригинальных типоразмеров, разработанных впервые для данного изделия. Очевидно, что количество деталей впервые разработанных для данного изделия равно разности общего количества типоразмеров и суммы нормализованных, заимствованных, покупных деталей. единиц Следовательно, Коэффициент повторяемости характеризующий уровень внутрипроектной унификации изделия и взаимозаменяемость составных частей внутри данного изделия, вычисляется по формуле:
где N — общее количество составных частей в изделии. Следовательно,
Литература
1. Белошицкий А.П. Метрология и измерения: Учеб.-метод. пособие для индивидуальной работы студентов/ А.П. Белошицкий и др.; под общ. ред. С.В. Лялькова. – Мн.: БГУИР, 1999. – 72с. 2. Елизаров А.С. Электрорадиоизмерения. – Мн.: Выш. шк., 1986. – 320с. 3. Интернет-источники: http://www.rlocman.ru/shem/schematics.html?di=66280
