ТЕМА 12. Сложные суждения План 1. Образование сложных суждений. 2. Установление логического значения сложных суждений при помощи таблиц истинности. Упражнения 1. Установите вид следующих сложных суждений и определите их истинность при помощи таблиц истинности: 1.1. Редакция вправе увеличить или уменьшить размер гонорара. 1.2. Банан – пищевое растение и источник доходов для экспортирующих стран. 1.3. Он сейчас находится в Минске или в Петербурге. 1.4. Кукушка хвалит петуха за то, что хвалит он кукушку. 1.5. Если к двум прибавить два, то получится четыре. 2. Постройте таблицу истинности для следующего выражения: (p(pvq)).
1 Образование сложных суждений Сложным называют суждение, состоящее из нескольких простых, связанных логическими связками. Различают следующие виды сложных суждений: 1) соединительные; 2) разделительные; 3) условные; 4) эквивалентные. Истинность таких сложных суждений определяется истинностью составляющих их простых. 1.1 Соединительные (конъюнктивные) суждения Соединительным, или конъюнктивным называют суждение, состоящее из нескольких простых, связанных логической связкой «и». Например, суждение «Этот автомобиль очень качественный и пробежал всего десять тысяч метров» является соединительным суждением, состоящим из двух простых: «Этот автомобиль очень качественный», «пробежал всего десять тысяч метров». Если первое обозначать р, а второе — q, то соединительное суждение символически можно выразить как р ^ q, где р и q — члены конъюнкции (или конъюнкты), ^ — символ конъюнкции. В естественном языке конъюнктивная связка может быть представлена и такими выражениями, как: «а», «но», «а также», «как и», «хотя», «однако», «несмотря на», «одновременно» и другими. Соединительное суждение может быть как двух-, так и многосоставным; в символической записи: р^ q ^ г ^... ^ п. Приведем пример соединительного суждения, включающего более 20 конъюнктов: «Возок несется чрез ухабы, Мелькают мимо будки, бабы, Мальчишки, лавки, фонари, Дворцы, сады, монастыри, Бухарцы, сани, огороды, Купцы, лачужки, мужики, Бульвары, башни, казаки, Аптеки, магазины моды, Балконы, львы на воротах и стаи галок на крестах». 1.2 Разделительные (дизъюнктивные) суждения. Разделительным, или дизъюнктивным, называют суждение, состоящее из нескольких простых, связанных логической связкой «или». Например, суждение «Договор купли-продажи может быть заключен в устной или письменной форме» является разделительным суждением, состоящим из двух простых: «Договор купли-продажи может быть заключен в устной форме»; «Договор купли-продажи может быть заключен в письменной форме». Если первое обозначить р, а второе — q, то разделительное суждение символически можно выразить как р v q, где р и q — члены дизъюнкции (дизъюнкты), v — символ дизъюнкции. Разделительное суждение может быть как двух-, так и многосоставным: р v q v ... v п. В языке разделительное суждение может быть выражено одной из трех логико-грамматических структур: 1) Разделительная связка представлена в сложном субъекте по схеме: Si или S2 есть Р. Например, «хищение в крупных размерах или совершенное группой лиц имеет повышенную общественную опасность». 2) Разделительная связка представлена в сложном предикате по схеме: S есть Р1 или Р2. Например: «Хищение наказывается исправительными работами или тюремным заключением». 3) Разделительная связка представлена сочетанием первых двух способов по схеме: Si или S2 есть Pi или Рг. Например: «Ссылка или высылка могут применяться в качестве основной или дополнительной санкции». 1.3 Условные (импликативные) суждения. Условным, или импликативным, называют суждение, состоящее из двух простых, связанных логической связкой «если.., то...». Например: «Если предохранитель плавится, то электролампа гаснет». Первое суждение — «Предохранитель плавится» называют антецедентом (предшествующим), второе — «Электролампа гаснет» —консеквентом (последующим). Если антецедент обозначить р, консеквент — q, а связку «если..., то...» знаком «—›», то импликативное суждение символически можно выразить как p —› q. В естественном языке для выражения условных суждений используется не только союз «если..., то...», но и другие союзы: «там..., где», «тогда..., когда...», «постольку..., поскольку...» и т.п. В форме условных суждений в языке могут быть представлены такие виды объективных связей, как причинные, функциональные, пространственные, временные, правовые, а также семантические, логические и другие зависимости. 1.4. Эквивалентные суждения (двойная импликация). Эквивалентным называют суждение, включающее в качестве составных два суждения, связанных двойной (прямой и обратной) условной зависимостью, выражаемой логической связкой «если и только если—, то...». Например: «Если и только если человек награжден орденами и медалями (р), то он имеет право на ношение соответствующих орденских планок (q)».Логическая характеристика этого суждения состоит в том, что истинность утверждения о награждении (р) рассматривается как необходимое и достаточное условие истинности утверждения о наличии права на ношение орденских планок (q). Точно так же истинность утверждения о наличии права на ношение орденских планок (q) является необходимым и достаточным условием истинности утверждения о том, что данное лицо награждено соответствующими орденом или медалью (р). Такую обоюдную зависимость символически можно выразить двойной импликацией pt^q, которая читается: «Если и только если р, то q». Эквивалентность выражают идругим знаком: р = q. В естественном языке, в том числе и в юридических текстах, для выражения эквивалентных суждений используют союзы: «лишь при условии что..., то...», «в том и только в том случае когда..., тогда...», «только тогда когда..., то...» и другие. 1.5 Выражение высказываний Выражение высказываний происходит при помощи символов — переменных и знаков, обозначающих логические термины. Других символов для этой цели нет. Переменные высказывания выражаются в виде букв латинского алфавита (a, b, p, q и т.д.). Такие буквы называют переменными высказываниями, а также пропозициональными переменными. Под этой группой символов понимаются простые суждения, составляющие высказывание. Другая группа символов , использующаяся для выражения высказываний в виде формул, это знаки. Они обозначают логические термины, такие как конъюнкция и дизъюнкция, которая может быть строгой и нестрогой, отрицание, эквиваленция и импликация. Конъюнкция отображается в виде галочки, направленной вверх (^) дизъюнкция как галочка, направленная вниз (V). При строгой дизъюнкции выше галочки ставится точка. Импликация имеет знак «—› », отрицание (-), эквиваленция (=). Последним видом символов, при помощи которых выражаются высказывания, являются круглые скобки. Символы, обозначающие логические термины, типы связки, характеризуются разной силой. Так, связка ^ считается самой сильной, т. е. она связывает сильнее всех остальных. Связка V сильнее, чем —, что важно только в некоторых случаях. Так, определение силы связок становится немаловажным в случае записи формул без использования скобок. Если мы имеем высказывание, выраженное формулой (p ^ q )V c , можно не писать скобки, а прямо указывать, что p ^ q V c. То же правило действует и при использовании символа — ›. Однако данное правило справедливо не во всех случаях. То есть во многих случаях недопустимо опускать скобки. Например, когда конъюнктивная связка понятия p осуществляется с двумя другими понятиями, связанными отношением импликации и отделенными круглыми скобками, опускать последние недопустимо (p ^ (q —› c)). Это очевидно, так как в противном случае пришлось бы вначале осуществлять связку конъюнкции и только затем импликацию. В связи со сказанным выше можно отметить, что далеко не каждое символьное выражение высказываний является формулой. Для этого необходимо наличие определенных признаков. Например, формула должна быть построена правильно. Примерами такого построения могут быть: (p^q), (p V q), (p — q), (p = q). Это построение отмечается как ППФ, т.е. правильно построенная формула. Примерами неправильно построенных формул могут быть: p^q, p V q , p — b, V q, (p^q и др. В первых трех случаях неправильность формулы заключается в том, что понятия, объединенные связками, должны быть заключены в скобки. Последняя формула имеет незакрытую скобку, четвертый пример характеризуется тем, что одно простое понятие не объединено с другим, несмотря на то что имеется символ дизъюнкции. 1.6 Коммутативность суждений. Коммутативность — это эквивалентность суждений (высказываний), когда (p^q) = (q^p). В языке закон коммутативности конъюнкции не действует, так как принимается во внимание фактор времени. Действительно, невозможно себе представить эквивалентность некоторых суждений, одно из которых по времени раньше другого, и наоборот. Например, не будут эквивалентны высказывания «Пошел дождь, и мы промокли» (p^q) и «Мы промокли, и пошел дождь» (q^p). Здесь учитывается фактор времени, согласно которому одно событие или действие, отраженное в сложном суждении, предшествует другому, отчего зависит смысл всего высказывания. Логика абстрагируется от времени и оценивает суждение только с точки зрения его правильного построения, а также истинности либо ложности. В связи с этим приведенные выше высказывания являются эквивалентными, так как в каждом отдельно взятом случае истинны обе их части. Таким образом, конъюнктивные высказывания в логике коммутативны, использование же в суждениях союза «и» с точки зрения языка (в случае, когда учитывается фактор времени) некоммутативно. Зачастую в предложениях, представляющих собой сложные суждения, в качестве связок используются разные знаки препинания. Например, это может быть запятая или тире, а иногда и точка. Используемые в высказываниях знаки препинания ставятся между простыми суждениями и связывают их друг с другом. В качестве примера использования знаков препинания как логических связок можно привести предложение «Тучи разошлись, выглянуло солнце» или «На улице ударил мороз, вся живность попряталась, на крышах образовались сосульки». Дизъюнкция бывает строгой и нестрогой. Различия этих двух видов заключаются в том, что члены нестрогой дизъюнкции исключают друг друга, в то время как члены строгой — нет. Закон коммутативности при дизъюнкции действует независимо от того, какой ее вид имеется в виду. Дизъюнкция выражается союзами, главные из которых «или» и «либо». Приведем примеры строгой и нестрогой дизъюнкции и используем их для иллюстрации действия закона коммутативности. Суждение «Я выпью воды с газом или без газа» является примером нестрогой дизъюнкции, в то время как суждение «Я пойду в университет или останусь дома» — строгой. Различие между ними состоит в том, что в первом случае действие все равно будет совершено, вне зависимости от выбранного типа воды. Во втором же случае действие (пойду в университет) исключается, если выбрать второй вариант и остаться дома. Как уже было сказано выше, закон коммутативности в дизъюнктивных высказываниях действует независимо от типа дизъюнкции. Возьмем для примера следующее суждение: «Я выпью воды с газом или без газа» и «Я выпью воды без газа или с газом». Очевидно, что разницы между ними нет, смысл остается одним. Содержание и объем сложного суждения, образованного при помощи дизъюнкции, не меняются от перестановки его членов. 1.6 Отрицание сложных суждений Отрицание суждения в логике — это замена существующей связки внутри сложного высказывания на другую, противоположную последней. Если мы говорим о формуле, в которой можно выразить отрицание сложных суждений, то нужно отметить, что отрицание графически выражается как горизонтальная черта над отрицаемым суждением. Таким образом, мы получим два понятия, объединенных логической связкой, над которыми проведена горизонтальная черта. Если такая черта уже есть, то для осуществления отрицания необходимо такую черту удалить. Все сказанное выше относится к операциям, производимым с применением конъюнкции и дизъюнкции. Однако сказанное выше не означает, что отрицание сложных суждений возможно, только если они содержат исключительно связки конъюнкцию и дизъюнкцию. В случае, если необходимо осуществить операцию отрицания по отношению к суждению, содержащему импликацию, необходимо заменить это суждение так, чтобы при отсутствии каких-либо его изменений отбросить импликацию. Это означает, что необходимо подобрать суждение, эквивалентное данному, которое при этом не содержало бы импликации. Когда мы говорим о суждении, эквивалентном содержащему импликацию, но не содержащему ее, подразумевается замена этой связки на конъюнкцию или дизъюнкцию. Графически это выглядит как (p —› q) = (p V q). Затем производится описанная выше операция, при которой знак конъюнкции меняется на дизъюнкцию, и наоборот. Обычно в речи выражение отрицания сводится к добавлению приставки «не». Действительно, так как указанная приставка является отрицательной, ее применение для установления противоположности вполне оправдано. Приведем примеры операции отрицания. Отрицание сложного суждения, в котором нет импликации: «Я закончу работу и пойду гулять и зайду в магазин» — «Я закончу работу, но не пойду гулять и не зайду в магазин». Отрицание сложного суждения, в котором необходимо сначала изменить импликацию на конъюнкцию или дизъюнкцию, можно проиллюстрировать следующим примером: «Если я куплю машину, то поеду за город или заверну на дачу» — «Я куплю машину, но не поеду за город и не заверну на дачу». В этом примере мы для удобства опустили этап исключения импликации. 2 Установление логического значения сложных суждений при помощи таблиц истинности. Отношение истинности суждений отображается в таблицах. Эти таблицы отражают все возможные случаи истинности и ложности суждений, причем каждое из простых суждений, входящее в состав сложного, отражается в «шапке» таблицы в виде буквы (например, p, q). Истинность или ложность отражается в виде букв «И» или «Л» (истина и ложь соответственно). 2.1 Истинность соединительных суждений. Соединительное суждение истинно при истинности всех составляющих его конъюнктов и ложно при ложности хотя бы одного из них. Условия истинности суждения р ^ q показаны в таблице (рис. 1), где истинность обозначена И, а ложность — Л. В первых двух столбцах таблицы р и q берутся как независимые и принимают поэтому все возможные сочетания значений И и Л: ИИ, ИЛ, ЛИ, ЛЛ. В третьем столбце показано значение суждение р ^ q. Из четырех построчных вариантов истинным оно является лишь в 1-й строке, когда истинны оба конъюнкта: и р, и q. Во всех остальных случаях оно ложно: во 2-йи 3-й строках в силу ложности одного из членов, а в 4-й в силу ложности обоих членов. p q p^q и и и и л л л и л л л л Рисунок 1 2.2 Истинность разделительных суждений Дизъюнкцию различают стогую и нестрогую. Отличие между этими двумя видами дизъюнкции состоит в том, что при нестрогом виде члены ее не исключают друг друга. Примером нестрогой дизъюнкции может быть: «Для получения заготовки деталь можно довести на станке (p) или предварительно обработать напильником (q)». Очевидно, что здесь p не исключает q и наоборот. Условия истинности нестрогой дизъюнкции представлены в таблице (рис. 2). Суждение р v q будет истинно при истинности хотя бы одного члена дизъюнкции (1, 2, 3-я строки — ИИ, ИЛ, ЛИ). Дизъюнкция будет ложной при ложности обоих ее членов (4-я строка— ЛЛ) p q p v q и и и и л и л и и л л л Рисунок 2 Строгая дизъюнкция характерна тем, что ее члены исключают друг друга (в отличие от нестрогой дизъюнкции). Суждение «Сегодня я сделаю уроки (p) или пойду гулять на улицу (q)» является примером строгой дизъюнкции. Действительно, можно совершить в данный момент только одно действие — сделать домашнюю работу либо идти гулять, оставив уроки на потом. Поэтому строгая дизъюнкция истинна, только когда истинно лишь одно из простых суждений, входящих в нее. Это единственный случай истинности строгой дизъюнкции. Таблица истинности для строгой дизъюнкции показана на рисунке 3. p q p ¥ q и и л и л и л и и л л л Рисунок 3 2.3 Истинность условных суждений Условия истинности импликативного суждения показаны в таблице (рис. 4). Импликация истинна во всех случаях, кроме одного: при истинности антецедента и ложности консеквента (2-я строка) импликация всегда будет ложной. Сочетание истинного антецедента, например «Предохранитель плавится», и ложного консеквента — «Электролампа не гаснет» — является показателем ложности импликации. Истинность импликации объясняется следующим образом. В 1-й строке истинность р имплицирует истинность q, или другими словами: истинность антецедента достаточна для признания истинности консеквента., И действительно, если предохранитель плавится, то электролампа обязательно гаснет в силу их последовательного включения в электрическую цепь. В 3-й строке при ложном антецеденте —«Предохранитель не плавится» консеквент является истинным — «Электролампа гаснет». Ситуация вполне допустимая, ибо предохранитель может не плавиться, а электролампа может погаснуть в силу других причин — отсутствия тока в цепи, перегорания нити в лампе, замыкания электропроводки и т.д. Таким образом, истинность q при ложности р не опровергает идею о наличии условной зависимости между ними, поскольку при истинности р всегда будет истинным и q. В 4-й строке при ложном антецедент — «Предохранитель не плавится» ложным является и консеквент — «Электролампа не гаснет». Такая ситуация возможна, но она не ставит под сомнение факт условной зависимости р и q, ибо при истинности р всегда будет истинным q. p q p—›q и и и и л л л и и л л и Рисунок 4 2.4 Истинность эквивалентных суждений Условия истинности эквивалентного суждения представлены в таблице (рис.5). Суждение р = q истинно в тех случаях, когда оба суждения принимают одинаковые значения, являясь одновременно либо истинными (1-я строка), либо ложными (4-я строка). Это значит, что истинность р достаточна для признания истинным q, и наоборот. Отношение между ними характеризуется и как необходимое: ложность р служит показателем ложности q, а ложность q указывает на ложность р. p q p = q и и и и л л л и л л л и Рисунок 5 В заключение приведем сводную таблицу условий истинности сложных суждений (рис.6). p^q p v q p ¥q p—›q p=q и и л и и л и и и л л и и л л л л л и и Рисунок 6
3 Практические упражнения 3.1 Установите вид следующих сложных суждений о определите их истинность при помощи таблиц истинности: 1) Редакция вправе увеличить или уменьшить размер гонорара. Вид суждения – нестрогая дизъюнкция. Состоит из двух простых суждений «Редакция вправе увеличить размер гонорара (p)» и «Редакция вправе уменьшить размер гонорара (q)», которые не исключают друг друга. Таблицу истинности для нестрогой дизъюнкции изобразим на рисунке 7. p q p v q и и и и л и л и и л л л Рисунок 7 Так как суждение p является истинным и суждение q тоже истинным,(смотрим первую строку таблицы), следовательно все суждение истинно. 2) Банан –пищевое растение и источник доходов для экспортирующих стран. Вид суждения – конъюнкция. Состоит из двух простых суждений « Банан – пищевое растение (p)» и «Банан – источник доходов для экспортирующих стран (q)», соединенных союзом и. Таблицу истинности для конъюнкции изобразим на рисунке 8. p q p^q и и и и л л л и л л л л Рисунок 8 Так, как р – истинно и q – истинно(смотрим первую строку таблицы), следовательно все суждение истинно. 3) Он сейчас находится в Минске или в Петербурге. Вид суждения – строгая дизъюнкция. Состоит из двух простых суждений «Он сейчас находится в Минске(p)» и «Он сейчас находится в Петербурге(q)». Данные суждения исключают друг друга, так как нельзя одновременно находится в двух различных городах. Таблицу истинности для строгой дизъюнкции изобразим на рисунке 9. Если истинно p, так как это строгая дизъюнкция, то ложно q. Если истинно q, то ложно p. В любом случае (смотрим таблицу 9, 2 и 4 строки) суждение является истинным. p q p ¥ q и и л и л и л и и л л л Рисунок 9 4) Кукушка хвалит петуха за то, что он хвалит кукушку. Вид суждения – эквивалентное суждение. Состоит из двух простых «Кукушка хвалит петуха (p)» и «Петух хвалит кукушку(q)». Таблицу истинности для эквивалентных суждений изобразим на рисунке 10. p q p = q и и и и л л л и л л л и Рисунок10 Так как p=q истинны, то сложное суждение истинно. 5) Если к двум прибавить два, то получится четыре. Вид суждения – импликация. Состоит из двух простых суждений «Если к двум прибавить два (p)» и «получится четыре(q)», связанных логической связкой «если.., то...». Таблицу истинности для импликации изобразим на рисунке 11. p q p —› q и и и и л л л и и л л и Рисунок 11 Так, как p истинно и q истинно, следовательно суждение истинно. 3.2 Постройте таблицу истинности для следующего выражения: (p(pvq)). p q p v q p—›(pvq) (p(pvq)) и и и и л и л и л и л и и и л л л л и л
Литература 1 Д. А. Шадрин Логика: конспект лекций 2 Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика 3 Логика : учебно-методический комплекс для студентов заочной и дистанционной форм обучения / Сост. Г.И. Малыхина, В.А. Иноземцев, М.Р. Дисько. - Минск : БГУИР, 2007.
Редакция вправе увеличить или уменьшить размер гонорара. Сильная дизъюнкция.
И И Л И Л И Л И И Л Л Л
Данное сложное суждение истинно кроме случая, когда оба утверждения ложны либо истины. В данном случае редакция вправе выбрать любой один вариант, либо уменьшить, либо увеличить. Редакция не может выбрать одновременно 2 варианта. Значит данное суждение истинно при выборе одного варианта.
