bsuir.info
БГУИР: Дистанционное и заочное обучение
(файловый архив)
Вход (быстрый)
Регистрация
Категории каталога
Другое [37]
Белорусский язык [242]
ВОВ [88]
Высшая математика [452]
Идеология [113]
Иностранный язык [622]
История Беларуси [228]
Культурология [42]
Логика [255]
НГиИГ [111]
Основы права [7]
Основы психологии и педагогики [6]
Охрана труда [7]
Политология [158]
Социология [109]
Статистика [30]
ТВиМС [79]
Техническая механика [42]
ТЭЦ [78]
Физика [145]
Философия [157]
Химия [73]
Экология [35]
Экономика предприятия [33]
Экономическая теория [161]
Электротехника [35]
ЭПиУ [39]
Этика [5]
Форма входа
Логин:
Пароль:
Поиск
Статистика

Онлайн всего: 7
Гостей: 5
Пользователей: 2
PanQ, berviachonok
Файловый архив
Файлы » Общевузовские предметы » Высшая математика

ПОИТ (д.), Высшая математика, Практическая работа №3, вар.2, 2017
Подробности о скачивании 24.05.2018, 09:57
Задача 1
Найдите производную функции.

1.02. y=arctg(〖cos〗^2 (4-3√x))-cos 1/2-(x^2+3)/(√x+2∛x).

Решение

y^'=1/(1+(〖cos〗^2 (4-3√x))^2 )+sin 1/2-((x^2+3)^' (√x+2∛x)-(√x+2∛x)^' (x^2+3))/(√x+2∛x)^2 =
=1/(1+(〖cos〗^2 (4-3√x))^2 )+sin 1/2-(2x(√x+2∛x)-(1/(2√x)+2/(3∛(x^2 )))(x^2+3))/(√x+2∛x)^2 .

Ответ: y^'=1/(1+(〖cos〗^2 (4-3√x))^2 )+sin 1/2-(2x(√x+2∛x)-(1/(2√x)+2/(3∛(x^2 )))(x^2+3))/(√x+2∛x)^2 .


Задача 2
Найдите дифференциал заданной функции y=f(x).
Проверьте, удовлетворяет ли функция y=f(x) заданному уравнению.

2.01. y=(1-x) e^(-x);(y-x^2 e^(-x)+e^(-x) )dx+(1-x)dy=0.

Решение

y^'=(1-x)^' e^(-x)-(1-x) (e^(-x) )^'=(-1) e^(-x)-(1-x)(-e^(-x) )=-xe^(-x);
dy=-xe^(-x) dx ;
(y-x^2 e^(-x)+e^(-x) )dx+(1-x)(-xe^(-x) dx)=
=e^(-x) dx-xe^(-x) dx-x^2 e^(-x) dx+e^(-x) dx-xe^(-x) dx+x^2 e^(-x) dx=
=-2xe^(-x) dx≠0.

Тождество не получено. Значит, заданная функция не удовлетворяет заданному уравнению.

Ответ: 1) y^'=-xe^(-x); 2) функция не удовлетворяет уравнению.


Задача 3
Найдите производную функции.

3.02. f(x)=(arcsin3x)^(x^2+1).

Решение

z=ln⁡|f(x)|=ln⁡〖〖((arcsin3x)〗^(x^2+1))〗=〖(x〗^2+1)ln⁡(arcsin3x);

z^'=(x^2+1)'(ln⁡〖(arcsin3x))+(x^2+1)(ln⁡(arcsin3x)'〗=
=2x ln⁡(arcsin3x)+(x^2+1) 1/arcsin3x∙3/√(1-9x^2 )=
=2x ln⁡(arcsin3x)+(3(x^2+1))/(arcsin3x√(1-9x^2 ));

f^' (x)=z^'∙f(x)=(arcsin3x)^(x^2+1)∙(2x ln⁡(arcsin3x)+(3(x^2+1))/(arcsin3x√(1-9x^2 ))).

Ответ: f^' (x)=(arcsin3x)^(x^2+1)∙(2x ln⁡(arcsin3x)+(3(x^2+1))/(arcsin3x√(1-9x^2 ))).


Задача 4
Найдите вторую производную 〖y''〗_xx функции, заданной параметрически.

4.02. {█(x(t)=2t-t^2,@y(t)=3t-t^3.)┤

Решение
Имеем 〖y''〗_xx=〖(〖y^'〗_x)'〗_x.
Производная параметрически заданной функции находится по формуле 〖y'〗_x=〖y'〗_t/〖x'〗_t .
Таким образом, находим:

〖y'〗_t=(3t-t^3 )^'=3-3t^2;
〖x'〗_t=(2t-t^2 )^'=2-2t;
〖y'〗_x=(3-3t^2)/(2-2t).

Для второй производной имеем: 〖y''〗_xx=〖(〖y^'〗_x)'〗_x=〖〖(y'〗_x)'〗_t/〖x'〗_t .

Вычислим производную 〖〖(y'〗_x)'〗_t

〖〖(y'〗_x)'〗_t=((3-3t^2)/(2-2t))^'=(-6t(2-2t)+2(3-3t^2))/(2-2t)^2 =(-12t+12t^2+6-6t^2)/(4t^2+4-8t)=(6t^2-12t+6)/(4t^2-8t+4)=(6〖(t〗^2-2t+1))/(4〖(t〗^2-2t+1))=3/2

Окончательно получаем

〖y''〗_xx=3/2:2-2t=3/(4-4t).

Ответ: 〖y''〗_xx=3/(4-4t).


Задача 5
Заданы функция y=f(x) и точка x_0. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной, проведенной в точке x_0 к графику функции y=f(x).

5.02. f(x)=(2x^2-1)/(x+1); x_0=-2.

Решение

Катетами треугольника, площадь которого нужно найти, очевидно, являются оси координат, а гипотенузой – касательная к графику заданной функции. Уравнение касательной имеет вид:

y=f^' (x_0 )∙(x-x_0 )+f(x_0 ).

После подстановки x_0=-2 получим уравнение гипотенузы треугольника в виде:

y=f^' (-2)∙(x+2)+f(-2).

Найдём производную функции:

f^' (x)=((2x^2-1)/(x+1))^'=(4x^2+4x-2x^2+1)/(x+1)^2 =(2x+1)^2/(x+1)^2

Вычисляем:

f^' (-2)=(2x+1)^2/(x+1)^2 =9/1=9;
f(-2)=(2x^2-1)/(x+1)=7/(-1)=-7.

Таким образом, уравнение гипотенузы треугольника имеет вид

y=9∙(x+2)-7 <=>y=9x+11,

или в виде уравнения прямой в отрезках:

y-9x=11 => x/(-11/9)+y/11=1.

Как известно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов. В данном случае длинами катетов являются модули чисел, стоящих в знаменателях уравнения гипотенузы в отрезках, поэтому искомая площадь треугольника равна

S=1/2∙|-11/9|∙|7|=77/18≈4,28.

Ответ: 77/18 кв. ед.


Задача 6
Найдите предел по правилу Лопиталя.

6.02. lim┬(x→3)⁡〖(3^x-x^3)/(x-3)〗.

Решение

Непосредственная подстановка аргумента x=3 приводит к неопределенности вида (0/0).

lim┬(x→3)⁡〖(3^x-x^3)/(x-3)〗=lim┬(x→3)⁡〖(〖(3〗^x-x^3)')/((x-3)')〗=(3^x ln⁡〖3-3x^2 〗)/1=27 ln⁡〖3-27〗.

Ответ: 27 ln⁡〖3-27〗.


Задача 7
Разложите функцию по формуле Тейлора по степеням x-x_0 до члена
(x-x_0 )^3 включительно. Остаточный член запишите в форме Пеано.

7.02. y=sin⁡〖2x, x_0=1.〗

Решение

Разложение необходимо получить в окрестности точки x_0=1, для этого воспользуемся формулой:

f(x)=f(x_0 )+(f^' (x_0 ))/1! (x-x_0 )+(f^'' (x_0 ))/2! (x-x_0 )^2+(f^''' (x_0 ))/3! (x-x_0 )^3+o((x-x_0 )^3 ).

Находим:

f^' (x)=(sin⁡〖2x)'=〗 (sin⁡〖2x)'∙(2x)'=2cos⁡(2x);〗
f^'' (x)=(2 cos⁡〖(2x))'=〗 2∙(cos⁡〖(2x))'∙(2x)'=-4sin⁡(2x);〗
f^''' (x)=(-4 sin⁡〖(2x))'=-4∙(sin⁡〖2x)'∙(2x)'=-8cos⁡(2x)〗 〗.

Дополнительно вычисляем f(1)=sin⁡2. Подставляя найденные значения, получаем разложение с остаточным членом в форме Пеано:

sin⁡〖2x= 〗 sin⁡〖2+〗 (2 cos⁡(2x))/1!(x-sin⁡〖2)-(4 sin⁡(2x))/2! (x-sin⁡2 )^2-(8cos⁡(2x))/3! (x-sin⁡2 )^3+o((x-sin⁡2 )^3 )〗.

Ответ: sin⁡〖2x= 〗 sin⁡〖2+〗 (2 cos⁡(2x))/1!(x-sin⁡〖2)-(4 sin⁡(2x))/2! (x-sin⁡2 )^2-(8cos⁡(2x))/3! (x-sin⁡2 )^3+o((x-sin⁡2 )^3 )〗.


Задача 8
Методами дифференциального исчисления исследуйте функцию и постройте её график, используя результаты исследования.

8.02. y=16x^2 (x-1)^2.

Решение

1) Область определения функции D(y)=[0;+∞).
2) Функция не является ни чётной, ни нечётной.
3) Найдём точки пересечения графика с осью O_x.
Имеем 16x^2 (x-1)^2=0=>x_1=0,x_2=1.
4) Точки разрыва отсутствуют
5) Исследуем функцию на экстремум и найдём интервалы возрастания и убывания. Имеем y^'=(16x^2 (x-1)^2 )^'=32x(x^2-2x+1)+16x^2 (2x-2)=32x(2x^2-3x+1) Существуют критические точки x_1=1,x_2=1/2,x_3=0. В промежутках x∈(0;1/2)∪(1;+∞) имеем y^'>0 следовательно, функция возрастает; в промежутке x∈(-∞;0)∪(1/2;1) имеем y^'<0 функция убывает.
Далее, находим y^''=(32x(2x^2-3x+1))^'=32(2x^2-3x+1)+32x(4x-3)=
=32(6x^2-6x+1). y^'' (1/2)=32(3/2-3+1)=-16, y^'' (1)=32(6-6+1)=32
y^'' (1)=32>0, следовательно, х=1 – точка минимума, y_min1=0;
y^'' (0)=32>0, следовательно, х=0 – точка минимума, y_min2=0;
y^'' (1/2)=-16<0, следовательно, x=1/2 – точка максимума, y_max=1.
6) Найдём интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки её перегиба. Так как y^''=0 в точках x_1,x_2=(3±√3)/6то график функции перегибается в данных точках. Учитывая, что y^''>0 в промежутке x∈(-∞;(3-√3)/6)∪((3+√3)/6;+∞), график вогнут на данном отрезке и выгнут в промежутке x∈((3-√3)/6;(3+√3)/6).
7) С учётом результатов исследования строим график функции:
y

x



Задача 9
Методами дифференциального исчисления исследуйте функцию и постройте её график, используя результаты исследования.

9.02. y=((x+1)/(x-1))^2.

Решение

1) Область определения функции D(y)=[0;+∞).
2) Функция не является ни чётной, ни нечётной.
3) Найдём точки пересечения графика с осью O_x.
Имеем ((x+1)/(x-1))^2=0=>x=-1.
4) Точкой разрыва является x=1, причем lim┬(x→1)⁡y=+∞; следовательно, прямая x=1 является вертикальной асимптотой графика.
Найдем наклонные асимптоты:
k=lim┬(x→∞)⁡〖f(x)/x=〗 lim┬(x→∞)⁡〖(x^2+2x+1)/(x^3-2x^2+1x)=0/1=0〗;
b=lim┬(x→∞)⁡〖(f(x)-k(x))=lim┬(x→∞)⁡〖(((x+1)/(x-1))^2-0)=1〗 〗.
Учитывая изложенное, наклонная асимптота имеет уравнение y=1 и, очевидно, является горизонтальной асимптотой.

5) Исследуем функцию на экстремум и найдём интервалы возрастания и убывания. Имеем y^'=((2x+2) (x-1)^2-(2x-2) (x+1)^2)/((x-1)^2 )^2 =(2(x+1)(x-1)((x-1)-(x+1)))/((x-1)^2 )^2 . Существует критическая точка x=-1. В промежутках x∈(-1;1) имеем y^'>0 следовательно, функция возрастает; в промежутке x∈(-∞;-1)∪(1; +∞) имеем y^'<0 функция убывает.
Далее, находим
y^''=(((2x+2) (x-1)^2-(2x-2) (x+1)^2)/((x-1)^2 )^2 )^'=
=((2(x-1)^2-2(x+1)^2 ) (x-1)^4-〖((x-1)〗^2 (2x+2)-(x+1)^2 (2x-2))(4(x-1)^3))/(x-1)^6
y^'' (-1)=2>0, следовательно, х=1 – точка минимума, y_min=0;
6) Найдём интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки её перегиба. Так как y^''>0 (≠0), то график функции всюду вогнут. Точек перегиба кривая не имеет.
7) С учётом результатов исследования строим график функции:
y

x
Категория: Высшая математика | Добавил: konserv32
Просмотров: 33 | Загрузок: 3
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]