bsuir.info
БГУИР: Дистанционное и заочное обучение
(файловый архив)
Вход (быстрый)
Регистрация
Категории каталога
Другое [37]
Белорусский язык [242]
ВОВ [88]
Высшая математика [452]
Идеология [113]
Иностранный язык [622]
История Беларуси [228]
Культурология [42]
Логика [255]
НГиИГ [111]
Основы права [7]
Основы психологии и педагогики [6]
Охрана труда [7]
Политология [158]
Социология [109]
Статистика [30]
ТВиМС [79]
Техническая механика [42]
ТЭЦ [78]
Физика [145]
Философия [157]
Химия [73]
Экология [35]
Экономика предприятия [33]
Экономическая теория [161]
Электротехника [35]
ЭПиУ [39]
Этика [5]
Форма входа
Логин:
Пароль:
Поиск
Статистика

Онлайн всего: 7
Гостей: 5
Пользователей: 2
PanQ, berviachonok
Файловый архив
Файлы » Общевузовские предметы » Высшая математика

ПОИТ (д.), Высшая математика, Практическая работа №1, вар.2, 2017
Подробности о скачивании 24.05.2018, 09:55
Задача 1
Даны два вектора a ⃗ и b ⃗, выраженные в виде линейной комбинации векторов e ⃗1 и e ⃗2. Найдите: а) |a ⃗| и |b ⃗|; б) скалярное произведение a ⃗ ∙ b ⃗; в) угол между векторами a ⃗ и b ⃗; г) длину третьей стороны и площадь треугольника, построенного на векторах a ⃗ и b ⃗.

1.02. a ⃗ = e ⃗1+ 5e ⃗2; b ⃗= 2e ⃗1 - 3e ⃗2;
|e ⃗1| = 4; |e ⃗2| = 1; (e ⃗1( , ) ̂e ⃗2) = arccos(1/4).

Решение
а) |a ⃗| = √((a ⃗,a ⃗)) = √( (e ⃗_1+ 5e ⃗_2,e ⃗_1+ 5e ⃗_2)) =
= √( e ⃗_1∙e ⃗_1+ 10∙e ⃗_1∙e ⃗_2+25∙e ⃗_2∙e ⃗_2)) =
= √( 〖〖|e ⃗〗_1 |〗^2+ 10∙〖|e ⃗〗_1 |∙|e ⃗_2 |∙cos(e ⃗_1 ( , ) ̂e ⃗_2)+25∙〖〖|e ⃗〗_2 |〗^2)) =
= √( 4^2+ 10∙4∙1∙cos(arccos(1/4))+25∙1^2)) =
= √( 16+ 40∙(1/4)+25)) = √(51 ).
|b ⃗| = √((b ⃗,b ⃗)) = √( (2e ⃗_1-3e ⃗_2,2e ⃗_1-3e ⃗_2)) =
= √( 4∙e ⃗_1∙e ⃗_1- 12∙e ⃗_1∙e ⃗_2+9∙e ⃗_2∙e ⃗_2)) =
= √( 4∙〖〖|e ⃗〗_1 |〗^2- 12∙〖|e ⃗〗_1 |∙|e ⃗_2 |∙cos(e ⃗_1 ( , ) ̂e ⃗_2)+9∙〖〖|e ⃗〗_2 |〗^2)) =
= √( 4∙4^2- 12∙4∙1∙cos(arccos(1/4))+9∙1^2)) =
= √( 64- 48∙(1/4)+9)) = √(61 ).
б) (a ⃗,b ⃗) = a ⃗∙b ⃗ = (e ⃗_1+ 5e ⃗_2) ∙ ( 2e ⃗_1-3e ⃗_2) =
= 2∙e ⃗_1∙e ⃗_1-3∙ e ⃗_1 〖∙e ⃗〗_2+10 ∙ e ⃗_2∙e ⃗_1-15∙ e ⃗_2∙e ⃗_2 =
= 2∙|e ⃗_1 |^2+7∙e ⃗_1 〖∙e ⃗〗_2∙ cos(e ⃗_1 ( , ) ̂e ⃗_2 )-15∙|e ⃗_2 |^2 =
= 2∙ 4^2+7∙4∙1∙cos⁡((arccos(1/4))-15∙1^2 =
= 32+7-15= 24.
в) (a ⃗( , ) ̂b ⃗ )=arccos((a ⃗∙b ⃗)/(|a ⃗|∙|b ⃗|))=arccos⁡(24/(√51∙√61))=arccos(24/√3111).
г)



a ⃗



e ⃗_2 c ⃗
e ⃗_1

b ⃗

c ⃗=b ⃗-a ⃗=(2e ⃗1 - 3e ⃗2) – (e ⃗1+ 5e ⃗2) =e ⃗_1-〖8e ⃗〗_2.

|c ⃗| = √((c ⃗,c ⃗)) = √( (e ⃗_1-8e ⃗_2,e ⃗_1-8e ⃗_2)) =
= √(e ⃗_1∙e ⃗_1- 16∙e ⃗_1∙e ⃗_2+64∙e ⃗_2∙e ⃗_2)) =
= √( 〖〖|e ⃗〗_1 |〗^2- 16∙〖|e ⃗〗_1 |∙|e ⃗_2 |∙cos(e ⃗_1 ( , ) ̂e ⃗_2)+64∙〖〖|e ⃗〗_2 |〗^2)) =
= √( 4^2- 16∙4∙1∙cos(arccos(1/4))+64∙1^2)) =
= √( 16- 64∙(1/4)+64)) = √64=8.

S=1/2∙|a ⃗×b ⃗ |=1/2∙|a ⃗ |∙|b ⃗ |∙sin⁡(a ⃗( , ) ̂b ⃗ )=
=1/2∙√51∙√61∙sin(arccos(24/√3111))=
=1/2∙√51∙√61∙√(1-cos^2 (arccos(24/√3111)) )=
=√51/2∙√61∙√(1-〖24〗^2/3111)=
=√51/2∙√61∙√(3111-576)/(√51∙√61)=√2535/2=(13√15)/2

Ответ: а) |a ⃗| = √(51 ), |b ⃗| = √(61 ); б) a ⃗∙b ⃗ = 24; в) (a ⃗( , ) ̂b ⃗ ) = arccos(24/√3111); г) длина равна 8, площадь равна (13√15)/2.


Задача 2
Дана точка М – вершина треугольной пирамиды и три вектора a ⃗,b ⃗,c ⃗, образующие её боковые рёбра. Найдите: а) уравнение плоскости основания пирамиды; б) угол между гранью, образованной векторами a ⃗,b ⃗, и плоскостью основания; в) угол между ребром, образованным вектором c ⃗, и плоскостью основания; г) уравнение высоты, опущенной из вершины М на основание; д) объём пирамиды.

2.02. M(3, −2, 2); a ⃗(1, −2, 2); b ⃗(2, −3, 1); c ⃗(−4, −2, 3).

Решение
Обозначим оставшиеся три вершины пирамиды – точки M_1,M_2,M_3.

M_1 (3+1,-2-2,2+2) □(⇒┴ ) M_1 (4,-4,4);
M_2 (3+2,-2-3,2+1) □(⇒┴ ) M_2 (5,-5,3);
M_3 (3-4,-2-2,2+3) □(⇒┴ ) M_3 (-1,-4,5).

а) точки M_1,M_2,M_3 являются вершинами треугольника – основания пирамиды, поэтому плоскость р, проходящая через них, имеет уравнение:

|■(x-4&y+4&z-4@5-4&-5+4&3-4@-1-4&-4+4&5-4)|=0

|■(x-4&y+4&z-4@5-4&-5+4&3-4@-1-4&-4+4&5-4)|= |■(x-4&y+4&z-4@1&-1&-1@-5&0&1)|=

=(x-4)∙|■(-1&-1@0&1)|-(y+4)∙|■(1&-1@-5&1)|+(z-4)∙|■(1&-1@-5&0)|=
=(x-4)(-1-0)-(y+4)(1-5)+(z-4)(0-5)=
=-1(x-4)+4(y+4)-5(z-4)=-x+4y-5z+40.

Oбщее уравнение искомой плоскости:
p: -x-4y-5z+40.

б) Угол между гранями пирамиды численно равен острому углу между плоскостями, которые содержат эти грани. Уравнение плоскости основания получено в пункте а; найдём уравнение плоскости, содержащей грань пирамиды, образованной векторами a ⃗,b ⃗. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M_0 (x_0,y_0,z_0) параллельно двум векторам q_1 (m_1,n_1,p_1) и q_2 (m_2,n_2,p_2), имеет вид

|■(x-x_0&y-y_0&z-z_0@m_1&n_1&p_1@m_2&n_2&p_2 )|

Подставив в это уравнение координаты точки M(3, −2, 2), координаты векторов
a ⃗(1, −2, 2) и b ⃗(2, −3, 1), получим

|■(x-3&y+2&z-2@1&-2&2@2&-3&1)|=(x-3)∙|■(-2&2@-3&1)|-(y+2)|■(1&2@2&1)|+(z-2)|■(1&-2@2&-3)|=
=(x-3)(-2+6)-(y+2)(1-4)+(z-2)(-3+4)=
=4(x-3)+3(y+2)+(z-2)=4x+3y+z-12+6-2=0.

Таким образом, уравнение плоскости, содержащей заданную грань, имеет вид
p_ab: 4x+3y+z-8=0.
Нормальный вектор этой плоскости n ⃗_ab (4,3,1), а нормальный вектор плоскости основания n ⃗(-1,-4,-5).
Угол между плоскостями φ численно равен острому углу между их нормальными векторами, который можно найти из их скалярного произведения:
n ⃗_ab∙n ⃗=|n ⃗_ab |∙|n ⃗ |∙cos⁡φ □(⇒┴ ) φ=arccos |n ⃗_ab∙n ⃗ |/(|n ⃗_ab |∙|n ⃗ | ).
Таким образом,
φ=arccos |4∙(-1)+3∙(-4)+1∙(-5)|/(√(4^2+3^2+1^2 )∙√((-1)^2+(-4)^2+(-5)^2 ))=
=arccos |-21|/(√26∙√42)=arccos 21/√1092.

в) Угол между ребром пирамиды и плоскостью основания численно равен острому углу между прямой, проходящей через вершину пирамиды параллельно вектору, образующему ребро. Найдём каноническое уравнение ребра, образованного вектором c ⃗(−4, −2, 3), использовав в качестве точки вершину пирамиды M(3, −2, 2):
Угол ψ между прямой, заданной каноническим уравнением с направляющим вектором q(m,n,p), и плоскостью, заданной общим уравнением ax+by+cz+d=0 с нормальным вектором n ⃗(a,b,c), находится по формуле
ψ=arccsin |q ⃗∙n ⃗ |/(|q ⃗ |∙|n ⃗ | ).
Направляющим вектором прямой в нашем случае является вектор c ⃗, а нормальным вектором плоскости основания пирамиды является n ⃗(-1,-4,-5), поэтому вычисляем

ψ=arccsin |(-4)∙(-1)+(-2)∙(-4)+3∙(-5)|/(√(〖(-4)〗^2+〖(-2)〗^2+3^2 )∙√((-1)^2+(-4)^2+(-5)^2 )) =
=arcsin |-3|/(√29∙√42)=arcsin 3/√1218.

г) Уравнение высоты, опущенной из вершины М на основание, представляет собой каноническое уравнение прямой h, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости р, общее уравнение которой получено в пункте а. Направляющим вектором этой прямой, очевидно, является нормальный вектор плоскости р: n ⃗(-1,-4,-5). Значит,

h: (x-3)/(-1)=(y+2)/(-4)=(z-2)/(-5).

д) Объём треугольной пирамиды численно равен одной шестой от модуля смешанного произведения векторов, выходящих из одной вершины и образующих три её ребра. Смешанное произведение трёх векторов в декартовых координатах вычисляется с помощью определителя, в строки которого подставлены их координаты. Значит,

(a ⃗,b ⃗,c ⃗ )=|■(1&-2&2@2&-3&1@-4&-2&3)|=
=1∙|■(-3&1@-2&3)|—(-2)∙|■(2&1@-4&3)|+2∙|■(2&-3@-4&-2)|=
=(-9+2)+2∙(6+4)+2(-2-12)=-7+20-28=-15.

Таким образом, объём равен:

V=1/6∙|(a ⃗,b ⃗,c ⃗ )|=1/6∙|-15|=5/2.

Ответ: а) -x-4y-5z+40; б) arccos 21/√1092; в) arcsin 3/√1218; г) (x-3)/(-1)=(y+2)/(-4)=(z-2)/(-5) д) 5/2.

Задача 3
3.02. Найдите координаты точки M', симметричной точке M(–1;0;–1) относительно плоскости P: 2x+6y–2z+11=0.

Решение
Составим уравнение прямой L, проходящей через точку M перпендикулярно плоскости P, т.к. нормальный вектор Р есть n ⃗(2,6,-2)

L:(x+1)/2=y/6=(z+1)/(-2).

Решив совместно уравнения L и Р, получим точку N пересечения L с Р: N(-3/2; -3/2; -1/2). Но так как N – середина отрезка MM', то

(x-1)/2=-3/2 □(⇒┴ ) x=-2; y/2=-3/2 □(⇒┴ ) y=-3; (z-1)/2=-1/2 □(⇒┴ ) z=0.

Таким образом, точка М' имеет координаты (−2;−3;0).

Ответ: M'(9;2;11).



Задача 4
4.02. Составьте уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до точек F_1 (-2;0),F_2 (2;0) равна 2√3. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте её.

Решение

Обозначим произвольную точку искомой линии как M(x,y). Тогда по условию получаем, что |F_1 M|+|F_2 M|=2√3≈3,46<|F_1 F_2 |=4.
Очевидно, что сумма расстояний от произвольной точки искомой линии до точек F_1 (-2;0),F_2 (2;0) не может быть меньше расстояния между данными точками.
Значит, искомая по заданным условиям кривая не существует.

Ответ: искомая по заданным условиям кривая не существует.


Задача 5
Вычислите определитель 5-го порядка методом Гаусса.

5.02. |■(1&4&■(-5&2&1)@-2&1&■(2&3&0)@■(3@0@2)&■(0@4@-1)&■(■(4&-2&2)@■(1&3&2)@■(2&1&-1)))|

Решение

|■(1&4&■(-5&2&1)@-2&1&■(2&3&0)@■(3@0@2)&■(0@4@-1)&■(■(4&-2&2)@■(1&3&2)@■(2&1&-1)))| ■(@+2I@■(-3I@@+II)) ~ |■(1&4&■(-5&2&1)@0&9&■(-8&7&2)@■(0@0@0)&■(-12@4@0)&■(■(19&-8&-1)@■(1&3&2)@■(4&4&-1)))|

|■(1&4&■(-5&2&1)@0&9&■(-8&7&2)@■(0@0@0)&■(-12@4@0)&■(■(19&-8&-1)@■(1&3&2)@■(4&4&-1)))| ■(@-2IV@■(+3IV@@)) ~ |■(1&4&■(-5&2&1)@0&1&■(-10&1&-2)@■(0@0@0)&■(0@4@0)&■(■(22&1&5)@■(1&3&2)@■(4&4&-1)))|

|■(1&4&■(-5&2&1)@0&1&■(-10&1&-2)@■(0@0@0)&■(0@4@0)&■(■(22&1&5)@■(1&3&2)@■(4&4&-1)))| ■(@@■(-5V@-4II@)) ~ |■(1&4&■(-5&2&1)@0&1&■(-10&1&-2)@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(■(2&-19&10)@■(41&-1&10)@■(4&4&-1)))|

|■(1&4&■(-5&2&1)@0&1&■(-10&1&-2)@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(■(2&-19&10)@■(41&-1&10)@■(4&4&-1)))| ■(@@■(@-10V@-2III)) ~ |■(1&4&■(-5&2&1)@0&1&■(-10&1&-2)@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(■(2&-19&10)@■(1&-41&20)@■(0&42&-21)))|

|■(1&4&■(-5&2&1)@0&1&■(-10&1&-2)@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(■(2&-19&10)@■(1&-41&20)@■(0&42&-21)))| ■(@@■(@+V@)) ~ |■(1&4&■(-5&2&1)@0&1&■(-10&1&-2)@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(■(2&-19&10)@■(1&1&-1)@■(0&42&-21)))|

|■(1&4&■(-5&2&1)@0&1&■(-10&1&-2)@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(■(2&-19&10)@■(1&1&-1)@■(0&42&-21)))| ■(@@■(-2IV@@)) ~ |■(1&4&■(-5&2&1)@0&1&■(-10&1&-2)@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(■(0&-21&12)@■(1&1&-1)@■(0&42&-21)))|

|■(1&4&■(-5&2&1)@0&1&■(-10&1&-2)@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(■(0&-21&12)@■(1&1&-1)@■(0&42&-21)))| ■(@@■(@@+2III)) ~ |■(1&4&■(-5&2&1)@0&1&■(-10&1&-2)@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(■(0&-21&12)@■(1&1&-1)@■(0&0&3)))|

|■(1&4&■(-5&2&1)@0&1&■(-10&1&-2)@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(■(0&-21&12)@■(1&1&-1)@■(0&0&3)))| ■(@@■(→VI@→III@)) ~ |■(1&4&■(-5&2&1)@0&1&■(-10&1&-2)@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(■(1&1&-1)@■(0&-21&12)@■(0&0&3)))|.

Находим определитель
∆= 1∙1∙1∙(-21)∙3=-63.
Т.к. при расчетах мы поменяли местами III и IV строки, меняем знак определителя на противоположный
∆=63.

Ответ: 63.


Задача 6
Решите матричное уравнение.

6.02. X∙(■(-1&2&4@-2&0&1@2&2&0))=(■(-8&8&18@-4&2&8@-17&-8&7)).

Решение

{█(x_11∙(-1)+x_12∙(-2)+x_13∙2=-8@x_11∙2+x_12∙0+x_13∙2=8@x_11∙4+x_12∙1+x_13∙0=18)┤ {█(〖-x〗_11-2x_12+〖2x〗_13=-8@〖2x〗_11+〖2x〗_13=8@〖4x〗_11+x_12=18)┤

{█(〖-x〗_11-2x_12+〖2x〗_13=-8@〖2x〗_13=8〖-2x〗_11@x_12=18〖-4x〗_11 )┤ {█(〖-x〗_11-2x_12+〖2x〗_13=-8@x_12=18〖-4x〗_11@x_13=4〖-x〗_11 )┤

〖-x〗_11-2∙(18〖-4x〗_11 )+2∙(4〖-x〗_11)=-8
〖-x〗_11-36〖 + 8x〗_11+8 〖- 2x〗_11=-8
〖-x〗_11 〖 + 8x〗_11 〖- 2x〗_11=-8+36-8
〖5x〗_11=20
x_11=4

{█(x_11=4@x_12=18-16@x_13=4-4)┤ {█(x_11=4@x_12=2@x_13=0)┤

{█(x_21∙(-1)+x_22∙(-2)+x_23∙2=-4@x_21∙2+x_22∙0+x_23∙2=2@x_21∙4+x_22∙1+x_23∙0=8)┤ {█(〖-x〗_21-2x_22+〖2x〗_23=-4@〖2x〗_21+〖2x〗_23=2@〖4x〗_21+x_22=8)┤

{█(〖-x〗_21-2x_22+〖2x〗_23=-4@〖2x〗_23=2〖-2x〗_21@x_22=8〖-4x〗_21 )┤ {█(〖-x〗_21-2x_22+〖2x〗_23=-8@x_22=8〖-4x〗_21@x_23=1〖-x〗_21 )┤

〖-x〗_21-2∙(8〖-4x〗_21 )+2∙(1〖-x〗_21)=-4
〖-x〗_21-16〖 + 8x〗_21+2 〖- 2x〗_21=-4
〖-x〗_21 〖 + 8x〗_21 〖- 2x〗_21=-4+16-2
〖5x〗_21=10
x_21=2

{█(x_21=2@x_22=8-8@x_23=1-2)┤ {█(x_21=2@x_22=0@x_23=-1)┤

{█(x_31∙(-1)+x_32∙(-2)+x_33∙2=-17@x_31∙2+x_32∙0+x_33∙2=-8@x_31∙4+x_32∙1+x_33∙0=7)┤ {█(〖-x〗_31-2x_32+〖2x〗_33=-17@〖2x〗_31+〖2x〗_33=-8@〖4x〗_31+x_32=7)┤

{█(〖-x〗_31-2x_32+〖2x〗_33=-17@〖2x〗_33=-8〖-2x〗_31@x_32=7〖-4x〗_31 )┤ {█(〖-x〗_31-2x_32+〖2x〗_33=-17@x_32=7〖-4x〗_31@x_33=-4〖-x〗_31 )┤

〖-x〗_31-2∙(7〖-4x〗_31 )+2∙(-4〖-x〗_31)=-17
〖-x〗_31-14〖 + 8x〗_31-8 〖- 2x〗_31=-17
〖-x〗_31 〖 + 8x〗_31 〖- 2x〗_31=-17+14+8
〖5x〗_31=5
x_31=1

{█(x_31=1@x_32=7-4@x_33=-4-1)┤ {█(x_31=1@x_32=3@x_33=-5)┤

X=(■(4&2&0@2&0&-1@1&3&-5)).

Ответ: X=(■(4&2&0@2&0&-1@1&3&-5)).


Задача 7
Образует ли заданное множество векторов с естественными операциями сложения и умножения на число линейное пространство?
Множество всех четных чисел.
Решение
По условию задачи множество векторов является множеством всех четных чисел. С учётом этого, обозначим любой вектор пространства как a ⃗=α∙2, где α – произвольное действительное число.
Для того чтобы пространство было линейным, в нём должны выполняться восемь аксиом. Проверим их выполнение.
1) Коммутативность сложения.
Рассмотрим два произвольных вектора пространства a ⃗=α∙2 и b ⃗=β∙2, где α,β – действительные числа. Имеем с учётом свойства сложения действительных чисел
a ⃗+b ⃗=α∙2+β∙2=β∙2+α∙2=b ⃗+a ⃗.
Значит, аксиома выполняется.
2) Ассоциативность сложения.
Для трёх произвольных векторов пространства a ⃗=α∙2 , b ⃗=β∙2 и c ⃗=γ∙2 аксиома, очевидно, выполняется вследствие коммутативности сложения и свойств действительных чисел:
a ⃗+b ⃗ + c ⃗=(a ⃗+b ⃗) + c ⃗=a ⃗+(b ⃗ + c ⃗).
3) Существование нулевого элемента.
Нулевым элементом пространства, очевидно, является нулевой вектор 0 ⃗=0, так как ноль является четным числом (вектор принадлежит рассматриваемому пространству) и
a ⃗+0 ⃗=α∙2+0=a ⃗.
4) Существование противоположного элемента.
Противоположным элементом для вектора a ⃗=α∙2 является вектор -a ⃗=-α∙2, так как -α∙2 является четным числом (вектор принадлежит рассматриваемому пространству) и
a ⃗+(-a ⃗ )=α∙2+(-α∙2)=α∙2-α∙2=0 ⃗.
5) Пусть λ_1,λ_2 – произвольные действительные числа, а вектор a ⃗=α∙2 – произвольный вектор пространства. Тогда вследствие коммутативности умножения
λ_1∙(λ_2∙a ⃗ )= λ_1∙(λ_2∙(α∙2))= λ_1∙λ_2∙α∙2=〖(λ〗_1∙λ_2)∙α∙2=〖(λ〗_1∙λ_2)∙a ⃗.
Отсюда следует, что аксиома выполняется.
6) Умножение элемента на единицу.
Аксиома, очевидно, выполняется, так как
1∙a ⃗=1∙α∙2=α∙2=a ⃗.
7) Дистрибутивность.
Пусть λ_1,λ_2 – произвольные действительные числа, а вектор a ⃗=α∙2 – произвольный вектор пространства. Тогда
〖(λ〗_1+λ_2)∙a ⃗= 〖(λ〗_1+λ_2)∙(α∙2)= λ_1∙(α∙2)+λ_2∙(α∙2)=λ_1∙a ⃗+λ_2∙a ⃗.
Значит, аксиома выполняется.
8) Дистрибутивность.
Пусть λ – произвольное действительное число, а a ⃗=α∙2 и b ⃗=β∙2 – произвольные векторы пространства. Тогда
λ∙(a ⃗+b ⃗ )=λ∙((α∙2)+(β∙2))=λ∙(α∙2)+λ∙(β∙2)=λ∙a ⃗+λ∙b ⃗
Таким образом, аксиома выполняется.
Поскольку все восемь аксиом линейного пространства выполняются, то множество всех четных чисел образует линейное пространство.
Ответ: заданное множество образует линейное пространство.


Задача 8
В декартовой прямоугольной системе координат заданы вектор u ⃗ и плоскость p. Найдите: а) вектор v ⃗ – проекцию вектора u ⃗ на плоскость p методами аналитической геометрии; б) матрицу геометрического оператора проецирования произвольного вектора на плоскость p и с её помощью координаты вектора v ⃗.

8.02. u ⃗(-2; 3;-4), p:x+z=0.

Решение
а) Из уравнения заданной плоскости следует, что она проходит через ось O_y, поэтому для простоты расчётов совместим начало вектора v ⃗с началом координат.

z

p

-2 0
x

3 v ⃗

y

M'

u ⃗

-4
l

M

Из рисунка видно, что проекцией вектора u ⃗ на плоскость р является вектор v ⃗, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с проекцией конечной точки М вектора u ⃗ на плоскость р, то есть, с точкой М'.
Так как вектор u ⃗ является радиусом-вектором точки М, то её координаты будут такими же, как и у вектора u ⃗:M(-2; 3;-4). Проведём через эту точку прямую l, перпендикулярную плоскости р, и найдём их точку пересечения:
l: (x+2)/1=(y-3)/0=(z+4)/1=t.

где в знаменатели подставлены координаты нормального вектора n ⃗(1; 0; 1), плоскости, а t – некоторое число.

Перейдём к параметрическим уравнениям прямой l, подставим полученные выражения в уравнение плоскости и найдём параметр t:
{■(■(x=t-2;@z=t-4;)@y=t∙0+3;)┤
(t-2)+(t-4)=0 □(⇔┴ ) 2t-6=0;
t=3.

Найденное значение параметра t соответствует точке пересечения перпендикулярной прямой l с плоскостью р, поэтому точка М' является проекцией точки М на плоскость р и имеет координаты
{■(x=3-2=1;@z=3-4=-1;@y=3.)┤

Искомый вектор v ⃗ является радиусом-вектором точки M', поэтому его координаты совпадают с её координатами: v ⃗:M'(1; 3;-1).
б) Пусть А – искомый геометрический оператор. Для нахождения его матрицы необходимо применить оператор к базисным векторам исходного пространства, разложить полученные векторы по базису конечного пространства и записать координаты в столбцы матрицы, соблюдая порядок, в котором записаны базисные векторы.
Исходным базисом, очевидно, является декартов ортонормированный базис {i ⃗,j ⃗,k ⃗ }, конечным базисом – он же, так как при проецировании на плоскость мы работаем в одном и том же пространстве.
Совместим начала всех базисных векторов в начале координат и найдём проекции их конечных точек M_x,M_y,M_z на плоскость р, получив радиусы-векторы проекций базисных векторов, – это и будет результатом применения оператора А к базисным векторам {i ⃗,j ⃗,k ⃗ }. Расчёт будем выполнять по той же схеме, что и в пункте а.
Для базисного вектора i ⃗ имеем:
i ⃗(1;0;0)=> M_x (1;0;0)
l_x: (x-1)/1=y/0=z/1=t; □(⇒┴ ) {█(x=t+1,@y=t∙0,@z=t;)┤
t+1+t=0 □(⇔┴ ) 2t=-1 □(⇒┴ ) t=-1/2;
〖M^'〗_x (1/2;0;-1/2) □(⇒┴ ) A_i ⃗ (1/2;0;-1/2).
Для базисного вектора j ⃗ получаем:
j ⃗(0;1;0)=> M_y (0;1;0)
l_y: x/1=(y-1)/0=z/1=t; □(⇒┴ ) {█(x=t,@y=t∙0+1,@z=t;)┤
t+t=0 □(⇔┴ ) 2t=0 □(⇒┴ ) t=0;
〖M^'〗_y (0;1;0) □(⇒┴ ) A_j ⃗ (0;1;0).
Наконец, для базисного вектора k ⃗ имеем:
k ⃗(0;0;1)=> M_z (0;0;1)
l_z: x/1=y/0=(z-1)/1=t; □(⇒┴ ) {█(x=t,@y=t∙0,@z=t+1;)┤
t+t+1=0 □(⇔┴ ) 2t=-1 □(⇒┴ ) t=-1/2;
〖M^'〗_z (-1/2;0;1/2) □(⇒┴ ) A_k ⃗ (-1/2;0;1/2).

Записываем матрицу геометрического оператора:
A=(■(A_i ⃗ &■(A_j ⃗ &A_k ⃗ )@↓&■(↓ &↓)))=(■(1/2&0&-1/2@0&1&0@-1/2&0&1/2)).

Теперь найдём координаты проекции вектора u ⃗ на плоскость р
v ⃗=A∙u ⃗=(■(1/2&0&-1/2@0&1&0@-1/2&0&1/2))∙(■(-2@3@-4))=
=(■(1/2∙(-2)+0∙3-1/2∙-4@0∙(-2)+1∙3+0∙-4@-1/2∙(-2)+0∙3+1/2∙-4))=(■(1@3@-1))

Как видим, полученный вектор совпадает с результатом расчёта методами аналитической геометрии в пункте а.

Ответ: а) v ⃗(1; 3;-1); б) A=(■(1/2&0&-1/2@0&1&0@-1/2&0&1/2)).


Задача 9
Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса.

9.02. {█(-x_1+2x_2+x_3=11;@3x_1-x_2+〖2x〗_3=-14;@2x_1+3x_2-2x_3=-1.)┤
Решение
Формулы Крамера имеют вид
x_i=∆_i/det⁡A ,
где Δi – определитель, полученный из определителя основной матрицы системы линейных уравнений путём замены i-го столбца на вектор-столбец правых частей, а det А – определитель основной матрицы системы.
Основная матрица системы линейных уравнений имеет вид
A=(■(-1&2&1@3&-1&2@2&3&-2)).
Найдём её определитель
det⁡〖A=|■(-1&2&1@3&-1&2@2&3&-2)|=(-1)∙(-1)∙(-2)+2∙2∙2+3∙3∙1-1∙(-1)∙2-〗
-3∙2∙(-1)-3∙2∙(-2)=-2+8+9+2+6+12=35 ≠0.
Значит, система линейных уравнений совместна и имеет единственное решение.
Вычисляем определители ∆_i:

∆_1=|■(11&2&1@-14&-1&2@-1&3&-2)|=11∙(-1)∙(-2)+(-1)∙2∙2+(-14)∙3∙1-
-(-1)∙(-1)∙1-11∙3∙2-(-14)∙2∙(-2)=22-4-42-1-66-56=-147;

∆_2=|■(-1&11&1@3&-14&2@2&-1&-2)|=(-14)∙(-1)∙(-2)+11∙2∙2+(-1)∙3∙1-
-(-14)∙2∙1-11∙3∙(-2)-(-1)∙2∙(-1)=-28+44-3+28+66-2=105;

∆_3=|■(-1&2&11@3&-1&-14@2&3&-1)|=(-1)∙(-1)∙(-1)+(-14)∙2∙2+3∙3∙11-
-11∙(-1)∙2-(-1)∙3∙2-(-14)∙3∙(-1)=-1-56+99+22+6-42=28.

По формулам Крамера вычисляем:

x_1=∆_1/det⁡A =-147/35=-21/5; x_2=∆_2/det⁡A =105/35=3; x_3=∆_3/det⁡A =28/35=4/5.

Решим заданную систему линейных уравнений методом Гаусса. Составим расширенную матрицу системы:

(A|b ⃗)=(├ ■(-1&2&1@3&-1&2@2&3&-2)┤| ■(11@-14@-1))

Преобразуем расширенную матрицу так, чтобы она стала трапециевидной, с помощью перестановки строк и умножения элементов какой-либо строки на число и сложения с соответствующими элементами другой строки.

(├ ■(-1&2&1@3&-1&2@2&3&-2)┤| ■(11@-14@-1)) ■(@+3I@+2I) ~ (├ ■(-1&2&1@0&5&5@0&7&0)┤| ■(11@19@21))

(├ ■(-1&2&1@0&5&5@0&7&0)┤| ■(11@19@21)) ■(@@:7→II) ~ (├ ■(-1&2&1@0&1&0@0&5&5)┤| ■(11@3@19))

(├ ■(-1&2&1@0&1&0@0&5&5)┤| ■(11@3@19)) ■(-2II@@-5II) ~ (├ ■(-1&0&1@0&1&0@0&0&5)┤| ■(5@3@4))

Получилась трапециевидная матрица. Составим эквивалентную систему уравнений:

{█(-x_1+x_3=5;@x_2=3;@5x_3=4.)┤

x_3=4/5;
x_1=x_3-5=4/5-5=-21/5.

Таким образом,

Ответ: X ⃗=(■(x_1@x_2@x_3 ))=(■(-21/5@2@4/5)).



Задача 10
Для заданной системы линейных уравнений проверьте выполнение условий теоремы Кронекера-Капелли. Если система совместна, то найдите её общее решение, укажите размерность и базис пространства решений.

10.02. {█(x_1+x_2-3x_3-4x_5=0;@x_1+x_2-x_3+2x_4-3x_5=1;@2x_1+2x_2-x_3-x_4 〖 + 3x〗_5=0.)┤

Решение
Составим расширенную матрицу системы уравнений:
(A│b ⃗ )=(├ ■(1&1&■(-3&0&-4)@1&1&■(-1&2&-3)@2&2&■(-1&-1&3))┤| ■(0@1@0))

Приведём её к трапециевидному виду методом элементарных преобразований (перестановка строк, умножение элементов какой-либо строки на число и сложение с соответствующими элементами другой строки).

(├ ■(1&1&■(-3&0&-4)@1&1&■(-1&2&-3)@2&2&■(-1&-1&3))┤| ■(0@1@0)) ■(@@-II) ~ (├ ■(1&1&■(-3&0&-4)@1&1&■(-1&2&-3)@1&1&■(0&-3&6))┤| ■(0@1@-1))

(├ ■(1&1&■(-3&0&-4)@1&1&■(-1&2&-3)@1&1&■(0&-3&6))┤| ■(0@1@-1)) ■(@-I@) ~ (├ ■(1&1&■(-3&0&-4)@0&0&■(2&2&1)@1&1&■(0&-3&6))┤| ■(0@1@-1))

(├ ■(1&1&■(-3&0&-4)@0&0&■(2&2&1)@1&1&■(0&-3&6))┤| ■(0@1@-1)) ■(+II@@+II) ~ (├ ■(1&1&■(-1&2&-3)@0&0&■(2&2&1)@1&1&■(2&-1&1))┤| ■(1@1@0))

(├ ■(1&1&■(-1&2&-3)@0&0&■(2&2&1)@1&1&■(2&-1&1))┤| ■(1@1@0)) ■(-III@@) ~ (├ ■(0&0&■(-3&3&-4)@0&0&■(2&2&1)@1&1&■(2&-1&1))┤| ■(1@1@0))

(├ ■(0&0&■(-3&3&-4)@0&0&■(2&2&1)@1&1&■(2&-1&1))┤| ■(1@1@0)) ■(+II@@) ~ (├ ■(0&0&■(-1&5&-3)@0&0&■(2&2&1)@1&1&■(2&-1&1))┤| ■(2@1@0))

(├ ■(0&0&■(-1&5&-3)@0&0&■(2&2&1)@1&1&■(2&-1&1))┤| ■(2@1@0)) ■(@+2I@) ~ (├ ■(0&0&■(-1&5&-3)@0&0&■(0&12&7)@1&1&■(2&-1&1))┤| ■(2@5@0))

Преобразованная основная матрица системы имеет вид:

A=(■(1&1&■(2&-1&1)@0&0&■(-1&5&-3)@0&0&■(0&12&7)))

Основная матрица системы имеет три ненулевые строки, значит, её ранг равен 3.
В результате имеем r(A│b ⃗ )=r(A)=3, поэтому, согласно теореме Кронекера-Капелли, система является совместной (имеет решения).
Число переменных равно 5 (n=5), значит, в системе уравнений r=3 зависимых переменных и n–r=5–3=2 независимых переменных.

Эквивалентная система линейных уравнений имеет вид:

{█(x_1+x_2+2x_3-x_4+x_5=0;@-x_3+5x_4 〖- 3x〗_5=2;@12x_4+7x_5=5.)┤

Выберем в качестве зависимых переменные x_1 〖,x〗_(2 ), что соответствует базисному минору, составленному из элементов на пересечении первых двух строк и первых двух столбцов преобразованной расширенной матрицы. Тогда эквивалентную систему уравнений можно переписать в виде

{█(x_1+x_2=-2x_3+x_4-x_5@x_3=5x_4 〖- 3x〗_5-2@x_4=5/12-(7x_5)/12)┤

Сформируем вектор общего решения системы:

x ⃗=(■(x_1+x_2@x_3@■(x_4@x_5 )))=(■(■(-2x_3+x_4-x_5@-2+5x_4 〖- 3x〗_5@5/12-(7x_5)/12)@x_5 ))=(■(0@-2@■(5/12@0)))+x_3 (■(-2@0@■(0@0)))+x_4 (■(1@5@■(0@0)))+x_5 (■(-1@-3@■(-7/12@1)))

Заменим в общем решении независимые переменные на произвольные постоянные α_1,α_2,α_3∈R:

x ⃗=(■(x_1+x_2@x_3@■(x_4@x_5 )))=(■(0@-2@■(5/12@0)))+α_1 (■(-2@0@■(0@0)))+α_2 (■(1@5@■(0@0)))+α_3 (■(-1@-3@■(-7/12@1)))

В полученном выражении первый вектор постоянный, а три остальных являются базисом пространства решений, так как они линейно независимы и через них выражается любое решение системы в виде линейной комбинации, сложенной с постоянным вектором. Количество базисных векторов равно трём, значит, размерность пространства решений – три.

Ответ: Размерность пространства решений равна 3; базис:
x ⃗_1=(-2;0;0;0)^T,x ⃗_2=〖(1;5;0;0)〗^T,〖 x ⃗〗_1=〖(-1;-3;-7/12;1)〗^T.
Категория: Высшая математика | Добавил: konserv32
Просмотров: 22 | Загрузок: 1
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]