bsuir.info
БГУИР: Дистанционное и заочное обучение
(файловый архив)
Вход (быстрый)
Регистрация
Категории каталога
Другое [37]
Белорусский язык [242]
ВОВ [88]
Высшая математика [452]
Идеология [113]
Иностранный язык [622]
История Беларуси [228]
Культурология [42]
Логика [255]
НГиИГ [111]
Основы права [7]
Основы психологии и педагогики [6]
Охрана труда [7]
Политология [158]
Социология [109]
Статистика [30]
ТВиМС [79]
Техническая механика [42]
ТЭЦ [78]
Физика [145]
Философия [157]
Химия [73]
Экология [35]
Экономика предприятия [33]
Экономическая теория [161]
Электротехника [35]
ЭПиУ [39]
Этика [5]
Форма входа
Логин:
Пароль:
Поиск
Статистика

Онлайн всего: 6
Гостей: 5
Пользователей: 1
severid3
Файловый архив
Файлы » Общевузовские предметы » Высшая математика

ПОИТ (д.), Высшая математика, Практическая работа №2, вар.2, 2017
Подробности о скачивании 21.05.2018, 16:02
Задача 1
Найдите предел числовой последовательности. Укажите, является ли данная числовая последовательность бесконечно малой (б.м.ч.п.), бесконечно большой (б.б.ч.п.), ограниченной числовой последовательностью.

1.02. a_n=((n+2)!-(n+1)!)/(n!+2(n+1)!)

Решение

lim┬(n→∞)⁡〖((n+2)!-(n+1)!)/(n!+2(n+1)!)=〗 (n!∙(n+1)∙(n+2)-n!∙(n+1))/(n!+(n+1)!+(n+1)!)=(n!∙(n+1)∙(n+2)-n!∙(n+1))/(n!+n!∙(n+1)+n!∙(n+1) )=
=(n!∙((n+1)∙(n+2)-(n+1)))/(n!∙(1+(n+1)+(n+1)))=((n+1)∙(n+2)-(n+1))/(1+(n+1)+(n+1) )=(n^2+n+2n+2-n-1)/(1+n+1+n+1)=
=(n^2+2n+1)/(2n+3)=(n^2∙(1+〖2/n〗^(↗^0 )+〖1/n^2 〗^(↗^0 )))/(n^2∙(〖2/n〗_(↘_0 )+〖3/n^2 〗_(↘_0 )))=1/0=∞

Т.к. пределом данной последовательности является бесконечность, последовательность является бесконечно большой.

Ответ: ∞, последовательность является бесконечно большой.


Задача 2
Найдите предел числовой последовательности. Укажите, является ли данная числовая последовательность бесконечно малой (б.м.ч.п.), бесконечно большой (б.б.ч.п.), ограниченной числовой последовательностью.

2.02. b_n=((〖3n〗^2-n+1)/(〖3n〗^2+2n-4))^(1+n).

Решение

lim┬(n→∞)⁡〖((〖3n〗^2-n+1)/(〖3n〗^2+2n-4))^(1+n) 〗=lim┬(n→∞)⁡〖((〖3n〗^2+2n-4-3n+5)/(〖3n〗^2+2n-4))^(1+n) 〗=lim┬(n→∞)⁡〖(1-(3n+5)/(〖3n〗^2+2n-4))^(1+n)=〗
=lim┬(n→∞)⁡〖(1+1/(((〖3n〗^2+2n-4)/(-3n+5)) ))^(1+n)=〗 lim┬(n→∞)⁡〖(1+1/(((〖3n〗^2+2n-4)/(-3n+5)) ))^(1+n)=〗
=lim┬(n→∞)⁡〖((1+1/(((〖3n〗^2+2n-4)/(-3n+5)) ))^((〖3n〗^2+2n-4)/(-3n+5)) )^((-3n+5)/(〖3n〗^2+2n-4)(1+n))=〗
=e^(lim┬(n→∞) ((-3n+5-〖3n〗^2+5n)/(〖3n〗^2+2n-4)))=e^(lim┬(n→∞) ((-〖3n〗^2+2n+5)/(〖3n〗^2+2n-4)))=e^(lim┬(n→∞) ((-3+〖2/n〗^(↗^0 )+〖5/n^2 〗^(↗^0 ))/(3+〖2/n〗_(↘_0 )-〖4/n^2 〗_(↘_0 ) )))=e^(-1).

Т.к. предел функции существует и равен числу, последовательность сходится и является ограниченной.

Ответ: e^(-1), числовая последовательность является ограниченной.


Задача 3
Выделите в заданной функции полный квадрат и постройте её график в декартовой системе координат путём преобразования графика функции y=x^2.

3.02. y=3x^2-6x-3.

Решение

y=3x^2-6x-3=3(x^2-2x-1)=3(〖(x〗^2-2x+1)-2)=3((x-1)^2-2)=
=3(x-1)^2-6.

O^' (1;-6).

Ответ: y

6


1 2 3

-1 x

-3

-6



Задача 4
Постройте график функции r=r(φ), заданной в полярных координатах, для 0≤φ≤2π по точкам с шагом π/8, если полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось – с осью O_x. Найдите каноническое уравнение полученной линии в декартовой системе координат и определите её тип.
4.02. r=6/(3+2cosφ)

Решение

1 φ 0 π/8 π/4 3π/8 π/2 5π/8 3π/4 7π/8
2 r 1,2 1,24 1,36 1,59 2 2,68 3,78 5,21

1 π 9π/8 5π/4 11π/8 3π/2 13π/8 7π/4 15π/8 2π
2 6 5,21 3,78 2,68 2 1,59 1,36 1,24 1,2

π/2
3π/4 5π/8 y 3π/8
7π/8 π/4
2
π/8

π x 2π
-6 1

15π/8
-2
9π/8 7π/4
5π/4 11π/8 13π/8
3π/2
Чтобы вывести уравнение полученной линии в декартовых координатах, подставим выражения r=√(x^2+y^2 ) и cosφ=x/√(x^2+y^2 ) в её уравнение в полярных координатах r=6/(3+2cosφ):
√(x^2+y^2 )=6/(3+2∙x/√(x^2+y^2 ))=> √(x^2+y^2 )=(6√(x^2+y^2 ))/(3√(x^2+y^2 )+2x)=>
=> 3√(x^2+y^2 )=6-2x=>〖9x〗^2+〖9y〗^2=36+4x^2-24x.
5x^2+〖9y〗^2+24x-36=0=>5(x^2+24/5 x+(12/5)^2 )-5(12/5)^2+9y^2-36=0=>
5(x+12/5)^2-324/5+9y^2=0 |: 324/5
(25(x+12/5)^2)/324+(5y^2)/36=1.
Ответ: (25(x+12/5)^2)/324+(5y^2)/36=1 – каноническое уравнение полученной линии, данная линия является эллипсом с центром в точке (-12/5;0).


Задача 5
Найдите предел, не пользуясь правилом Лопиталя.

5.02. lim┬(x→1) (x^3-x^2-2x+2)/(x^4-x^3+x-1).

Решение

Непосредственная подстановка аргумента x=1 приводит к неопределенности вида (0/0), которую следует раскрыть.

lim┬(x→1) (x^3-x^2-2x+2)/(x^4-x^3+x-1)=lim┬(x→1) (x^2 (x-1)-2(x-1))/(x^3 (x-1)+x-1)=lim┬(x→1) (x^2-2)/(x^3+1)=(1-2)/(1+1)=-1/2.

Ответ: -1/2.


Задача 6
Найдите предел, не пользуясь правилом Лопиталя.

6.02. lim┬(x→1) (√(2x+7)-√(5+4x))/(1-x^2 ).

Решение

Непосредственная подстановка аргумента x=1 приводит к неопределенности вида (0/0).

lim┬(x→1) (√(2x+7)-√(5+4x))/(1-x^2 )=lim┬(x→1) ((2x+7)-(5+4x))/((1-x)(1+x)(√(2x+7)+√(5+4x)))=lim┬(x→1) (-2x+2)/((1-x)(1+x)(√(2x+7)+√(5+4x)))=

=lim┬(x→1) (2(1-x))/((1-x)(1+x)(√(2x+7)+√(5+4x)))=lim┬(x→1) 2/((1+x)(√(2x+7)+√(5+4x)))=2/((1+1)(3+3))=1/6.

Ответ: 1/6.


Задача 7
Найдите предел, не пользуясь правилом Лопиталя.

7.02. lim┬(x→1) π(x^2+x-2) tg⁡〖7πx/4〗.

Решение

Непосредственная подстановка аргумента x=1 приводит к неопределенности вида
(0∙∞).
Введем следующую замену y=x+2, а также воспользуемся периодичностью функции tg и ее формулой приведения.

lim┬(x→1) π(x^2+x-2) tg⁡〖7πx/4〗=lim┬(x→1) π(x-1)(x+2) tg⁡〖3πx/4〗=lim┬(x→1) π(x-1)(x+2) tg⁡〖(3π(x+2-2))/4〗
=lim┬(x→1) π(x+2-3)(x+2) tg⁡〖(3π(x+2)-6π)/4=〗
=π lim┬(y→0) y(y-3)tg(3πy/4-3π/2)=π lim┬(y→0) y(y-3)tg(3πy/4-π/2)=
=π lim┬(y→0) y(y-3)(-ctg 3πy/4)=-π lim┬(y→0) y(y-3)((cos 3πy/4)/(sin 3πy/4)).
Т.к. sin 3πy/4~3πy/4, получаем: -π lim┬(y→0) y(y-3)((cos 3πy/4)/(sin 3πy/4))=-π lim┬(y→0) (y(y-3)cos 3πy/4)/(3πy/4)=
=- π lim┬(y→0) 4(y-3)/3π∙cos 3πy/4=
=-π∙(4∙(-3))/3π∙1=4.

Ответ: 4.


Задача 8
Найдите предел.

8.02. lim┬(x→∞) (2x+3)∙(ln⁡(x+2)-ln⁡x ).

Решение

lim┬(x→∞) (2x+3)∙(ln⁡(x+2)-ln⁡x )= lim┬(x→∞) (2x+3)∙ln⁡((x+2)/x)=
=lim┬(x→∞) (2x+3)∙ln⁡(x/x+2/x)=lim┬(x→∞) (2x+3)∙ln⁡(1+2/x).
Т.к. ln⁡(1+2/x)~2/x, lim┬(x→∞) (2x+3)∙ln⁡(1+2/x)=lim┬(x→∞) (2x+3)∙2/x=lim┬(x→∞) 4+〖6/x〗_(↘_0 )=4.

Ответ: 4.


Задача 9
Заданы две функции f(x) и g(x). Сравните данные функции при помощи предела в окрестности точки х_0=0 и установите, является ли в этой окрестности функция f(x) бесконечно малой по сравнению с g(x), бесконечно большой по сравнению с g(x), либо функции f(x) и g(x) имеют одинаковый порядок малости.
Указание: примените эквивалентные бесконечно малые функции.

9.02. f(x)=5^(3x^2-2x+1)-6+e^tg⁡x +ln⁡(1+2x-3x^2 );
g(x)=5 arctan⁡4x-2x^2+3 sin⁡〖x/2.〗

Решение

lim┬(x→0)⁡〖f(x)=〗 lim┬(x→0)⁡〖(5^(3x^2-2x+1)-6+e^tg⁡x +ln⁡(1+2x-3x^2 ) )=〗
=5^(3〖∙0〗^2-2∙0+1)-6+e^0+ln⁡(1+2∙0-3〖∙0〗^2 )=
=5^1-6+e^tg⁡0 +ln⁡〖(1+0-0)=0;〗

lim┬(x→0)⁡〖g(x)=〗 lim┬(x→0)⁡〖(5 arctan⁡4x-2x^2+3 sin⁡〖x/2〗 )=5 arctan⁡〖4∙0〗-2〖∙0〗^2+3 sin⁡〖0/2=0.〗 〗

Так как оба предела равны нулю, то f(x) и g(x) являются бесконечно малыми функциями (б.м.ф.) в окрестности точки x_0=0.
Для сравнения заданных функций составим предел и преобразуем выражения в числителе и знаменателе:

L=lim┬(x→x_0 )⁡〖(f(x))/(g(x))〗=lim┬(x→0)⁡〖(5^(3x^2-2x+1)-6+e^tg⁡x +ln⁡(1+2x-3x^2 ))/(5 arctg⁡4x-2x^2+3 sin⁡〖x/2〗 )〗=
=lim┬(x→0)⁡〖(〖5∙(5〗^(3x^2-2x)-1)+e^tg⁡x -1+ln⁡(1+(2x-3x^2)))/(5 arctg⁡4x-2x^2+3 sin⁡〖x/2〗 )〗

Теперь воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями.

5^(3x^2-2x)-1 ~ (3x^2-2x)∙ln⁡5; arctg⁡〖4x ~ 4x〗;
e^tg⁡x -1 ~ tg⁡x; tg⁡x~ x;
ln⁡〖(1+(2x-3x^2)) ~ 2x-3x^2 〗; sin⁡〖x/2 ~ x/2.〗

Таким образом,

L=lim┬(x→0)⁡〖(5∙(3x^2-2x)∙ln⁡5+tg⁡x+2x-3x^2)/(5∙4x-2x^2+3x/2)〗=lim┬(x→0)⁡〖(5∙(3x^2-2x)∙ln⁡5+tg⁡x+2x-3x^2)/(5∙4x-2x^2+3x/2)〗=
=lim┬(x→0)⁡〖((15 ln⁡5-3)∙x^2+(2-10 ln⁡5)x+x)/(20x-2x^2+3x/2)〗=lim┬(x→0)⁡〖((15 ln⁡5-3)∙x+2-10 ln⁡5+1)/(20-2x+3/2)〗=
=(2-10 ln⁡5+1)/(20+3/2)=(4-20 ln⁡5+2)/43=const.

Так как полученный предел равен константе (но не нулю и не бесконечности), то заданные функции f(x) и g(x) в окрестности точки x_0=0 имеют одинаковый порядок малости.

Ответ: функции имеют одинаковый порядок малости.



Задача 10
Исследуйте на непрерывность функцию, заданную различными аналитическими выражениями на соответствующих интервалах. Если функция имеет точки разрыва, то установите их тип. Постройте схематический график заданной функции.

10.02. {█(-√(-x), x<0;@1+√2x, 0≤x≤2;@1/(2-x), x>2.)┤

Решение
На интервале (-∞; 0) функция f_1 (x)=-√(-x) является элементарной и непрерывной; на отрезке [0;2] функция f_2 (x)=1+√2x является элементарной и непрерывной; а на интервале [2; +∞) функция f_2 (x)=1/(2-x) также является элементарной и непрерывной (деление на ноль отсутствует, так как точка x=2 не входит в этот интервал). Поэтому функция f(x) может иметь точки разрыва только на границе соседних интервалов, то есть, в точках x_1=0 и x_2=2.
Найдем в этих точках односторонние пределы и значение функции.

lim┬(x→x_1-0)⁡〖f(x)=〗 〖 lim┬(x→x_1-0)-√(-x)〗⁡〖=0;〗
lim┬(x→x_1+0)⁡〖f(x)=〗 〖 lim┬(x→x_1+0) 1+√2x〗⁡〖=1+0=1;〗
f(x_1 )=1+√(2∙0)=1;

Имеем lim┬(x→x_1-0)⁡〖f(x)≠lim┬(x→x_1+0)⁡〖f(x)=〗 〗 (предел в точке слева не равен пределу справа), но lim┬(x→x_1+0)⁡〖f(x)-lim┬(x→x_1-0)⁡〖f(x)=〗 〗 1-0=const, поэтому точка x_1=0 является точкой разрыва первого рода, конечный скачок равен 1.

lim┬(x→x_2-0)⁡〖f(x)=〗 〖 lim┬(x→x_2-0) 1+√2x〗⁡〖=1+2=3;〗
lim┬(x→x_2+0)⁡〖f(x)=〗 〖 lim┬(x→x_2+0) 1/(2-x)〗⁡〖=1/0=∞;〗

Имеем бесконечный предел функции в точке x_2=2 справа, следовательно, точка x_2=2 является точкой разрыва второго рода.
По полученным данным строим схематический график функции:
y


3 y=1+√2x


1

0 x
2

y=1/(2-x)
y=-√(-x)

Ответ: x_1=0 – точка разрыва первого рода; x_2=2 – точка разрыва второго рода; в остальных точках области определения фу
Категория: Высшая математика | Добавил: konserv32
Просмотров: 49 | Загрузок: 1
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]