Задача 1 Найдите предел числовой последовательности. Укажите, является ли данная числовая последовательность бесконечно малой (б.м.ч.п.), бесконечно большой (б.б.ч.п.), ограниченной числовой последовательностью.
Т.к. пределом данной последовательности является бесконечность, последовательность является бесконечно большой.
Ответ: ∞, последовательность является бесконечно большой.
Задача 2 Найдите предел числовой последовательности. Укажите, является ли данная числовая последовательность бесконечно малой (б.м.ч.п.), бесконечно большой (б.б.ч.п.), ограниченной числовой последовательностью.
Задача 4 Постройте график функции r=r(φ), заданной в полярных координатах, для 0≤φ≤2π по точкам с шагом π/8, если полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось – с осью O_x. Найдите каноническое уравнение полученной линии в декартовой системе координат и определите её тип. 4.02. r=6/(3+2cosφ)
15π/8 -2 9π/8 7π/4 5π/4 11π/8 13π/8 3π/2 Чтобы вывести уравнение полученной линии в декартовых координатах, подставим выражения r=√(x^2+y^2 ) и cosφ=x/√(x^2+y^2 ) в её уравнение в полярных координатах r=6/(3+2cosφ): √(x^2+y^2 )=6/(3+2∙x/√(x^2+y^2 ))=> √(x^2+y^2 )=(6√(x^2+y^2 ))/(3√(x^2+y^2 )+2x)=> => 3√(x^2+y^2 )=6-2x=>〖9x〗^2+〖9y〗^2=36+4x^2-24x. 5x^2+〖9y〗^2+24x-36=0=>5(x^2+24/5 x+(12/5)^2 )-5(12/5)^2+9y^2-36=0=> 5(x+12/5)^2-324/5+9y^2=0 |: 324/5 (25(x+12/5)^2)/324+(5y^2)/36=1. Ответ: (25(x+12/5)^2)/324+(5y^2)/36=1 – каноническое уравнение полученной линии, данная линия является эллипсом с центром в точке (-12/5;0).
Задача 5 Найдите предел, не пользуясь правилом Лопиталя.
5.02. lim┬(x→1) (x^3-x^2-2x+2)/(x^4-x^3+x-1).
Решение
Непосредственная подстановка аргумента x=1 приводит к неопределенности вида (0/0), которую следует раскрыть.
Задача 7 Найдите предел, не пользуясь правилом Лопиталя.
7.02. lim┬(x→1) π(x^2+x-2) tg〖7πx/4〗.
Решение
Непосредственная подстановка аргумента x=1 приводит к неопределенности вида (0∙∞). Введем следующую замену y=x+2, а также воспользуемся периодичностью функции tg и ее формулой приведения.
Задача 9 Заданы две функции f(x) и g(x). Сравните данные функции при помощи предела в окрестности точки х_0=0 и установите, является ли в этой окрестности функция f(x) бесконечно малой по сравнению с g(x), бесконечно большой по сравнению с g(x), либо функции f(x) и g(x) имеют одинаковый порядок малости. Указание: примените эквивалентные бесконечно малые функции.
Так как оба предела равны нулю, то f(x) и g(x) являются бесконечно малыми функциями (б.м.ф.) в окрестности точки x_0=0. Для сравнения заданных функций составим предел и преобразуем выражения в числителе и знаменателе:
Так как полученный предел равен константе (но не нулю и не бесконечности), то заданные функции f(x) и g(x) в окрестности точки x_0=0 имеют одинаковый порядок малости.
Ответ: функции имеют одинаковый порядок малости.
Задача 10 Исследуйте на непрерывность функцию, заданную различными аналитическими выражениями на соответствующих интервалах. Если функция имеет точки разрыва, то установите их тип. Постройте схематический график заданной функции.
Решение На интервале (-∞; 0) функция f_1 (x)=-√(-x) является элементарной и непрерывной; на отрезке [0;2] функция f_2 (x)=1+√2x является элементарной и непрерывной; а на интервале [2; +∞) функция f_2 (x)=1/(2-x) также является элементарной и непрерывной (деление на ноль отсутствует, так как точка x=2 не входит в этот интервал). Поэтому функция f(x) может иметь точки разрыва только на границе соседних интервалов, то есть, в точках x_1=0 и x_2=2. Найдем в этих точках односторонние пределы и значение функции.
Имеем lim┬(x→x_1-0)〖f(x)≠lim┬(x→x_1+0)〖f(x)=〗 〗 (предел в точке слева не равен пределу справа), но lim┬(x→x_1+0)〖f(x)-lim┬(x→x_1-0)〖f(x)=〗 〗 1-0=const, поэтому точка x_1=0 является точкой разрыва первого рода, конечный скачок равен 1.
Имеем бесконечный предел функции в точке x_2=2 справа, следовательно, точка x_2=2 является точкой разрыва второго рода. По полученным данным строим схематический график функции: y
3 y=1+√2x
1
0 x 2
y=1/(2-x) y=-√(-x)
Ответ: x_1=0 – точка разрыва первого рода; x_2=2 – точка разрыва второго рода; в остальных точках области определения фу
