bsuir.info
БГУИР: Дистанционное и заочное обучение
(файловый архив)
Вход (быстрый)
Регистрация
Категории каталога
Другое [37]
Белорусский язык [243]
ВОВ [88]
Высшая математика [456]
Идеология [113]
Иностранный язык [623]
История Беларуси [231]
Культурология [42]
Логика [255]
НГиИГ [111]
Основы права [7]
Основы психологии и педагогики [6]
Охрана труда [7]
Политология [159]
Социология [110]
Статистика [30]
ТВиМС [79]
Техническая механика [42]
ТЭЦ [79]
Физика [145]
Философия [160]
Химия [73]
Экология [35]
Экономика предприятия [34]
Экономическая теория [163]
Электротехника [35]
ЭПиУ [40]
Этика [5]
Форма входа
Логин:
Пароль:
Поиск
Статистика

Онлайн всего: 3
Гостей: 3
Пользователей: 0
Файловый архив
Файлы » Общевузовские предметы » Высшая математика

ПиППУЭС (з.), Высшая математика, Контрольная работа, вар.6, 2017
Подробности о скачивании 14.12.2017, 12:59
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет
Специальность

Контрольная работа № 1
по дисциплине «Высшая математика»
Вариант № 6

Выполнил студент:
группа
Зачетная книжка
Электронный адрес

Минск 2017
Задача 6
Даны четыре вектора , , и в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
; ; ; .
Решение:

Так как , то векторы некомпланарны и образуют базис.
Система уравнений в координатном виде
,
где координаты в базисе
Решаем полученную систему уравнений методом Крамера.







Ответ:

Задача 16
Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертёж.
, , , .
Решение:
1) Найти длину ребра :
Длина ребра равна расстоянию между точками и


2) Найти угол между ребрами и :
Угол между ребрами и вычисляется по формуле:








3) Найти угол между ребром и гранью :
Угол между ребром и плоскостью – это угол между вектором и его ортогональной проекцией на грань .

Вектор перпендикулярен грани , что вытекает из определения векторного произведения векторов и
и



Векторное произведение:


Тогда синус угла равен:








4) Найти площадь грани :
Площадь грани будет численно равна половине модуля векторного произведения:





5) Найти объём пирамиды:
Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , , которое находится по формуле:








6) Найти уравнения прямой :
Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки .
=> - каноническое уравнение

7) Найти уравнение плоскости :
Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой , где координаты точки , координаты точки , координаты точки .
=>

- уравнение плоскости
8) Найти уравнения высоты, опущенной из вершины на грань :
Нормальный вектор = (–8, 8, 20) является направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку , следовательно уравнение высоты имеет вид:

Сделаем схематический чертеж:


Задача 26
Составить уравнение линии, для каждой точки расстояния от начала координат и от точки А(0,5) относятся, как 3:2.
Решение:
Пусть M(x;y) – произвольная точка искомой кривой. Найдем нужные расстояния:
d = = – расстояние от начала координат до произвольной точки кривой;
d = = – расстояние от точки А до произвольной точки кривой. Тогда:
или ;

Ответ:

Задача 36
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение:
1) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= [умножаем первую строку на -4, вторую на 7 и складываем их, умножаем первую на -2, третью на 7 и складываем их ] = = [умножаем третью строку на 97, вторую на -31 и складываем их] =
Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:
.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.
Тогда получим систему:

Тогда получим решение: x3 = -3; x2 = -4; x1 =2.
2) Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение: AX = B, где A = , X = , B = .
Тогда X = A-1B.

Вычислим обратную матрицу .

Тогда A-1 =
Получим X = A-1B = = = .

Ответ: x3 = -3; x2 = -4; x1 =2.

Задача 46
Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений:

Решение:
Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= [умножаем первую строчку на -2 складываем со второй, умножаем первую на -1 и складываем с третьей] = =
[умножаем вторую на 1 и складываем с третьей] = .
Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:
.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.
Тогда получим систему:

Пусть х3=t, тогда получим решение:
х4=0, x3 = t; x2 = ; x1 = , где t – любое число.
Ответ: х4=0, x3 = t; x2 = ; x1 = , где t – любое число.
Задача 56
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Решение:
Характеристическое уравнение имеет вид:

1=-2, 2=1, 3=9 – собственные значения линейного преобразования.
Для 1=-2 найдём собственный вектор.

Собственный вектор для 1=-2 имеет вид (0;m;0).
Для 2=1 найдём собственный вектор.

Собственный вектор для 2=1 имеет вид ( ; ;t).
Для 3=9 найдём собственный вектор.
.
Собственный вектор для 3=9 имеет вид (s; ; s).
Ответ: Собственный вектор для 1=-2 имеет вид (0;m;0), собственный вектор для 2=1 имеет вид ( ; ;t), собственный вектор для 3=9 имеет вид (s; ; s).
Задача 56
Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм:

Запишем данное уравнение в виде:
Найдём матрицу Т ортогонального оператора, приводящего данную квадратичную форму к каноническому виду.
Запишем характеристическую матрицу:

Её корнями являются значения 1=1, 2=10.
Для 1=1 найдём собственный вектор.
, где t – любое число.
Собственный вектор-столбец для 1=1 имеет вид . Тогда есть нормированный собственный вектор-столбец.
Для 2=10 найдём собственный вектор.
, где s – любое число.
Собственный вектор-столбец для 2=10 имеет вид . Тогда есть нормированный собственный вектор-столбец.
Ортогональный оператор, приводящий квадратичную форму к каноническому виду, имеет матрицу .
Базисными векторами новой системы координат являются:

В системе координат уравнение данной фигуры примет вид:

Это эллипс, центр которого находится в точке (0,0) относительно системы координат , а оси симметрии параллельны координатным осям этой системы.
Категория: Высшая математика | Добавил: artemxp
Просмотров: 197 | Загрузок: 4
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]