Решение: Проверим выполнение необходимого признака сходимости; для этого найдем . В нашем случае , следовательно ряд расходится. Ответ: ряд расходится.
Задание 2. Исследовать на сходимость ряд.
Решение: Если в формуле общего элемента присутствуют факториалы, то рекомендуется применять признак Даламбера. Найдем предел
согласно признака Даламбера ряд сходится. Ответ: ряд сходится.
Задание 3. Исследовать на сходимость ряд.
Решение: Если в формуле общего элемента имеются выражения, возведенные в степень , то удобно пользоваться признаком Коши: ряд сходится. Ответ: ряд cходится.
Задание 4. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд.
Решение: Если в формуле общего элемента имеются выражения, возведенные в степень , то удобно пользоваться признаком Коши
ряд сходится. Следовательно исходный ряд сходится абсолютно. Ответ: ряд сходится абсолютно.
Задание 5. Найти область сходимости степенного ряда.
Решение: Радиус сходимости находим по формуле . . Значит, ряд сходится на интервале . Исследуем сходимость ряда на концах интервала. При получаем числовой ряд . Для членов полученного ряда:
, т.е. В соответствии с признаком Лейбница данный ряд сходится и принадлежит области сходимости степенного ряда. Пусть . . Сравним исходный ряд с рядом . . Сходится ряд . По признаку сравнения сходится и исходный ряд, принадлежит области сходимости степенного ряда. Ответ: ряд сходится при .
Задание 6. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001. Для этого подынтегральную функцию следует разложить в ряд, который затем почленно проинтегрировать.
Решение: Разложим подынтегральную функцию в ряд.
Так как отрезок интегрирования [0; 0,5] находится внутри интервала сходимости данного ряда, то ряд можно почленно интегрировать. Подставляя в интеграл вышеприведенное разложение подынтегральной функции и почленно интегрируя в указанных пределах, получаем Ряд знакочередующийся. Погрешность замены суммы ряда суммой его первых n членов по абсолютной величине меньше первого из отброшенных членов. И поскольку , то для вычисления приближенного значения интеграла с требуемой точностью достаточно взять первое слагаемое. Итак, . Ответ: .
