bsuir.info
БГУИР: Дистанционное и заочное обучение
(файловый архив)
Вход (быстрый)
Регистрация
Категории каталога
Другое [37]
Белорусский язык [243]
ВОВ [88]
Высшая математика [456]
Идеология [113]
Иностранный язык [623]
История Беларуси [231]
Культурология [42]
Логика [255]
НГиИГ [111]
Основы права [7]
Основы психологии и педагогики [6]
Охрана труда [7]
Политология [159]
Социология [110]
Статистика [30]
ТВиМС [79]
Техническая механика [42]
ТЭЦ [79]
Физика [145]
Философия [160]
Химия [73]
Экология [35]
Экономика предприятия [34]
Экономическая теория [163]
Электротехника [35]
ЭПиУ [40]
Этика [5]
Форма входа
Логин:
Пароль:
Поиск
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Файловый архив
Файлы » Общевузовские предметы » Высшая математика

ПМС (д.), Высшая математика, Контрольная работа №3, вар.16, 2016
Подробности о скачивании 11.05.2017, 21:15
МАТЕМАТИКА, ЧАСТЬ 2
ИНДИВИДУАЛЬНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
 

 
Вариант №6

 

 
 

Пример 1. Найдите производную функции

Решение. Внешней функцией здесь служит степенная функция.
Таким образом, получим

Ответ:

Пример 2. Найдите производную функции .
Решение.

Ответ:

Пример 3.Найти производную функции .
Решение.

Ответ:

Пример 4. Найдите производную функции .
Решение. Логарифмируя это равенство по основанию получаем
. Дифференцирую получаем
, откуда

Ответ:

Пример 5. Найдите производную функции.
Решение. Продифференцируем уравнение по х, рассматривая у как функцию переменной х, и решим полученное уравнение относительно .

.
Ответ:

Пример 6. Разложите функцию по формуле Тейлора по степеням до члена включительно. Остаточный член запишите в форме Пеано.
Решение. Разложение необходимо получить в окрестности точки , для этого воспользуемся формулой:

При .
Находим:
; .
; .
; .
Дополнительно вычисляем . Подставляя найденные значения, получаем разложение с остаточным членом в форме Пеано:

Ответ:

Пример 7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение. Найдём критические точки данной функции:

у'=0 при ; ;
При получаем корень
Эта точка принадлежит отрезку . Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.

Ответ: при ; при.

Пример 8.Методами дифференциального исчисления исследуйте функцию и постройте её график, используя результаты исследования.

Решение.
1) Область определения функции .
2) Функция не является чётной или нечётной.
3) Найдём точки пересечения графика с осью ОХ.
Имеем ; .
4) Точкой разрыва является , причем

следовательно, прямая является вертикальной асимптотой графика.
Найдем наклонные асимптоты:

Наклонная асимптота имеет уравнение .
5) Исследуем функцию на экстремум и найдём интервалы возрастания и убывания. Имеем

Существуют критические точки , . В промежутках , . Следовательно, функция возрастает на промежутке , функция убывает на промежутке .
Далее, находим ; , следовательно, – точка минимума, .
6) Найдём интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки её перегиба. Так как , то график функции выпуклый на промежутке . Так как , то график функции вогнут на промежутке .
Точка перегиба .
7) Строим график функции:

Пример 9. Найдите все частные производные первого порядка функции пяти переменных .

Решение.

Пример 10. Дана функция . Найдите градиент функции в точке и производную функции в направлении вектора .
Решение. Градиент функции двух переменных находится по формуле

Найдём частные производные функции u в точке М:

Значит,

Производная по направлению вектора a в точке М находится по формуле

Частные производные в точке М найдены выше. Для нахождения направляющих косинусов вектора направления найдём единичный вектор для вектора a:

Где
Отсюда

Таким образом,

Ответ:

Пример 11. Исследуйте на экстремум функцию двух переменных

Решение. Найдём частные производные и составим систему уравнений для нахождения стационарных точек:

Значит, система уравнений для отыскания стационарных точек имеет вид

Решив систему, получим одну стационарную точку P(1;2).
Найдем производные 2-го порядка:

Составим дискриминант и значит, в точке P(1,2) функция имеет локальный минимум ;
Ответ: P(1;2) – точка локального минимума

Пример 12. С помощью функции Лагранжа найдите экстремум функции при условии, что переменные x и y удовлетворяют уравнению .
Решение. Составляем функцию Лагранжа:

Имеем

Необходимые условия дают систему уравнений

Решив систему, найдем:

Находим

Значит,

В точке функция имеет условный максимум
Ответ: – точка условного максимума, .
Категория: Высшая математика | Добавил: Shelesny
Просмотров: 192 | Загрузок: 9
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]