bsuir.info
БГУИР: Дистанционное и заочное обучение
(файловый архив)
Вход (быстрый)
Регистрация
Категории каталога
Другое [37]
Белорусский язык [243]
ВОВ [88]
Высшая математика [452]
Идеология [113]
Иностранный язык [622]
История Беларуси [229]
Культурология [42]
Логика [255]
НГиИГ [111]
Основы права [7]
Основы психологии и педагогики [6]
Охрана труда [7]
Политология [158]
Социология [109]
Статистика [30]
ТВиМС [79]
Техническая механика [42]
ТЭЦ [78]
Физика [145]
Философия [157]
Химия [73]
Экология [35]
Экономика предприятия [33]
Экономическая теория [162]
Электротехника [35]
ЭПиУ [39]
Этика [5]
Форма входа
Логин:
Пароль:
Поиск
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Файловый архив
Файлы » Общевузовские предметы » Высшая математика

ИСиТ БМ (д.), Высшая математика, Контрольная работа №7, вар.2, 2016
Подробности о скачивании 10.05.2017, 16:00
Контрольная работа 7. Дифференциальные уравнения
302. Найти решение дифференциального уравнения 1-го порядка.
.
Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив почленно на , получим


где .
Потенцируя последнее равенство, получим и, освобождаясь от модуля, получим или , где С – произвольная постоянная, отличная от нуля (как положительная, так и отрицательная). Разделив на , мы могли потерять решения, обращающие в нуль произведение . Полагая , находим, что . Непосредственная подстановка их в уравнение показывает, что они не являются решениями.
Таким образом, все решения содержатся в общем интеграле , что и является ответом.

312. Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка.

Решение.


Так как , то это уравнение в полных дифференциалах.
Тогда .
; ; .
Окончательно: – общий интеграл дифференциального уравнения.

322. Найти частное решение дифференциального уравнения 1-го порядка.
; .
Разделив почленно на , получим:
.
Данное уравнение является уравнением Бернулли.
Введем замену:


получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
Замена:

Запишем систему:

- здесь , т.е. рассматриваем частное решение.
- подставим во второе уравнение системы.



Заменяя , получили общее решение дифференциального уравнения.
.
Разделив на , мы могли потерять решения, обращающие в нуль . Полагая , находим, что . Непосредственная подстановка в уравнение показывает, что он не является решением.
Таким образом, все решения содержатся в общем решении:
.
Находим частное решение :
.
Исходное частное решение имеет вид
.

332. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
,
Решение. Рассмотрим соответствующее однородное линейное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет вид . Корни уравнения различны и действительны. Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид
.Правая часть исходного уравнения
, т.е. не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде
.
Для нахождения коэффициентов продифференцируем дважды и подставим в первоначальное уравнение:
,
.
После приведения подобных членов получим
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождественного равенства, получим
.
Таким образом, и общее решение данного уравнения имеет вид
.
Чтобы найти решение, удовлетворяющее начальным условиям , продифференцируем общее решение

и решим относительно и систему уравнений
.
Исходное частное решение имеет вид
.

342. Найти общее решение системы уравнений (рекомендуем решать с помощью характеристического уравнения).

Решение. Применим метод исключения. Для этого дифференцируем первое уравнение по t
.
Из первого уравнения выражаем и, подставив в предыдущее уравнение, получим
.
Это однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение , корни которого .
Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид . Находим

Таким образом, общее решение имеет вид
;
Категория: Высшая математика | Добавил: copi4546
Просмотров: 148 | Загрузок: 5
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]