bsuir.info
БГУИР: Дистанционное и заочное обучение
(файловый архив)
Вход (быстрый)
Регистрация
Категории каталога
Другое [37]
Белорусский язык [245]
ВОВ [89]
Высшая математика [468]
Идеология [114]
Иностранный язык [628]
История Беларуси [240]
Культурология [42]
Логика [255]
НГиИГ [116]
Основы права [7]
Основы психологии и педагогики [7]
Охрана труда [7]
Политология [174]
Социология [117]
Статистика [31]
ТВиМС [79]
Техническая механика [43]
ТЭЦ [81]
Физика [145]
Философия [165]
Химия [75]
Экология [35]
Экономика предприятия [35]
Экономическая теория [167]
Электротехника [35]
ЭПиУ [43]
Этика [5]
Форма входа
Логин:
Пароль:
Поиск
Статистика

Онлайн всего: 3
Гостей: 3
Пользователей: 0
Файловый архив
Файлы » Общевузовские предметы » Высшая математика

ИПОИТ (д.), Высшая математика, Практическая работа №3, вар.8, 2016
Подробности о скачивании 24.01.2017, 00:57
Задача 1.
Найдите производную функции

Решение:
По правилу дифференцирования дроби получим:
По правилу дифференцирования сложной функции получим:





Задача 2.
Найдите производную функции

Решение:
По правилу дифференцирования сложной функции получим:




Задача 3.
Найдите производную функции

Решение:
По правилу дифференцирования сложной функции получим:


Задача 4.
Найдите производную функции

Решение:
Логарифмируя равенство , получим:

Дифференцируя обе части, находим




Задача 5.
Найдите производную функции

Решение:
Так как зависимость между переменными и задана в неявном виде, то для нахождения производной достаточно продифференцировать обе части уравнения, считая функцией от , и из полученного уравнения найти




Задача 6.
Разложить функцию по формуле Тейлора по степеням до члена включительно. Остаточный член записать в форме Пеано.

Решение.
Ряд Тейлора для функции с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

В нашем случае:
.
.
.
.
Получаем:

Задача 7.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a,b].


Решение.
a) Находим критические точки функции:

.
b) В данный нам промежуток входит только точка: .
c) Вычисляем значения функции в критических точках и на концах промежутка:

,
.
Сравнивая полученные значения, получаем:
– наибольшее значение функции,
–наименьшее значение функции.


Задание 8. Методами дифференциального исчисления исследуйте функцию и постройте её график, используя результаты исследования. .
Решение.
Для полного исследования функции и построения ее графика применяется следующая примерная схема:
1) найти область определения функции;
2) исследовать функцию на непрерывность и определить характер точек разрыва;
3) исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность;
4) найти точки пересечения графика функции с осями координат;
5) исследовать функцию на монотонность и экстремум;
6) найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;
7) найти асимптоты графика функции;
8) по полученным данным построить график функции.
Применим вышеуказанную схему для исследования данной функции.
1) .
2) Функция не определена в точке . Следовательно, есть точка разрыва функции. Исследуем характер точки разрыва, для чего найдем односторонние пределы функции в этой точке:

Следовательно, – точка разрыва второго рода;
3) .
Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.
4) С осью Ох: .
Точка – точка пересечения с осью Ох.
С осью Оу: .
Точка – точка пересечения с осью Оy.
5) Находим производную.

при и не существует при .
Критическая точка: .

+ – +

-2 1
Функция возрастает на интервалах ; убывает – на интервале .

6) Находим вторую производную.

при и не существует при .
Критическая точка второго рода: .

+ –

2,5
Функция выпукла на интервалах , вогнута функция на интервале .
Точка перегиба , .
7) Так как точка - точка разрыва второго рода, то прямая - вертикальная асимптота.
Найдем наклонные асимптоты


Тогда - горизонтальная асимптота
8) По полученным данным строим график функции.


Задача 9.
Найдите все частные производные первого порядка функции пяти переменных .

Решение.
Найдем частные производные данной функции:





Задача 10. Дана функция , точка М(х0 , y0) и вектор а.
Найдите градиент функции в точке М и производную функции в точке М по направлению вектора а.

Решение.
Найдем частные производные данной функции:
;
.
;
.
1) Градиент функции в точке вычисляется по формуле
.
Тогда: .
2) Производная функции в точке по направлению вектора вычисляется по формуле ,
где – направляющие косинусы вектора .
Если , то , .
Тогда , ;
Следовательно, .

Задача 11.
Исследовать на экстремум функции двух переменных.

Решение.
Найдем частные производные данной функции:
;
.
Для нахождения точек экстремума, применим необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции:

Получаем:

Точка – точка экстремума.
Находим выражения:

Определяем характер точки экстремума:
В точке :
Тогда
Так как и то в точке экстремум минимум.
Тогда .


Задача 12.
Найти условный экстремум функции при помощи функции Лагранжа
Решение.
Составим функцию Лагранжа: .
Составим систему уравнений, реализуя необходимые условия экстремума:

Решая эту систему, находим и
Находим

и вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа

При ,
в этой точке условный минимум, .
Категория: Высшая математика | Добавил: an2anetti
Просмотров: 574 | Загрузок: 16
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]