Форум Файлы Воскресенье, 19.05.2024 , 05:06
bsuir.info
БГУИР: Дистанционное и заочное обучение
(файловый архив)
 Вход (быстрый)
Регистрация
Категории каталога
Другое [37]
Белорусский язык [247]
ВОВ [92]
Высшая математика [468]
Идеология [114]
Иностранный язык [633]
История Беларуси [247]
Культурология [42]
Логика [258]
НГиИГ [116]
Основы права [8]
Основы психологии и педагогики [7]
Охрана труда [7]
Политология [179]
Социология [120]
Статистика [31]
ТВиМС [83]
Техническая механика [43]
ТЭЦ [82]
Физика [146]
Философия [169]
Химия [76]
Экология [35]
Экономика предприятия [35]
Экономическая теория [169]
Электротехника [35]
ЭПиУ [44]
Этика [5]
Форма входа
Логин:
Пароль:
Поиск
Статистика
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Файловый архив
Файлы » Общевузовские предметы » Высшая математика
МдЭ (д.), Высшая математика, Контрольная работа №2, вар.3, 2015
Подробности о скачивании 14.11.2015, 15:34
Контрольная работа No2
Вариант 3
1. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и
решить ее тремя методами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса;
3) средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы).
Решение:
{
−3 x 1 3 −4 x1 x 1+ +5 x2−2 x x 2+ 2 + x x3 6 3=21
x =−16
3 =41
Докажем совместность, используя критерий Кронекера-Капелли:
Определим ранг основной и расширенной матрицы:
R=[
−3 3
1 −4 1
5
−2 1 6 | −16 21
41
] ∼[
−3 3
1 −4 1
5
−2 1 6 | −16
21
41
] ∼
[
1 0 0 −4 −7 13 −2 7 0 |−16
−7
69 ]
∼
∼ [
0 0 1 −4 13 1
−2 7 0
| −16
69
1 ] ∼[
1 0 0 −4 1
0
−2 7 0
|−16
56
1
]
Количество ненулевых строк в основной и расширенной матрице
равно 3, следовательно, ранги матриц совпадают и равны 3. Значит
система совместна и имеет единственное решение.
1)Найдем определитель матрицы:
Δ= |
−3 3
1 −4 1
5
−2 1
6
|
=3 ·(−4) ·6+ 1 ·(−2) ·(−3)+ 1 ·1· 5−1 ·(−4)·(−3)−3⋅
·(−2) ·5−1 ·1 ·6=−72+ 6+ 5−12+ 30−6=−49≠0,
значит,
система
имеет единственное решение.
Δ 1 = |
−16 41
21
−4 5
1
−2 1
6
|
=21 ·(−4) ·6+ 1 ·(−2)·41 +1 ·(−16)·5−1 ·(−4)·41−21·
⋅(−2) ·5−1 ·(−16)· 6=−504−82−80+ 164 + +210 + 96=−196
Δ 2 = |
−3 1 3
−16 41
21
−2 1
6
|
=3·(−16)·6+ 21 ·(−2) ·(−3)+ 1 ·1 ·41−1·(−16)·(−3)−3 ·
⋅(−2) ·41−21 ·1 ·6=−288+ 126+ 41−48+ +246−126=−49
Δ 3 = |
−3 1 3
−4 5
1
−16 21
41
|
=3 ·(−4) ·41+ 1 ·(−16) ·(−3)+ 21 ·1 ·5−21 ·(−4) ·(−3)−3 ·
⋅(−16)·5−1 ·1 ·41=−492+ 48+ 105−252+ + 240−41=−392
Δ
1 −196
x 1 = =
=4
Δ −49
Δ
2 −49
x 2 = Δ =
−49
=1
Δ
3 −392
x 3= Δ =
−49
=8
2)
(
−3 1 3
−4 1
5
−2 1 6 |−16
21
41
) ∼
(
−3 1 3
−4 5
1
−2 6 1 | −16
41
21
) ∼
(
0 0 1 −7 −4 13 −2 0 7 | −16
−7
69 )
∼
∼ ( 0 0 1 −4 13 1
−2 7 0
| −16
69
1 ) ∼(
0 1 0 −4 0
1
−2 7 0
| −16
56
1 ) ∼ (
1 0 0 −4 0
1
−2 0
1
| −16
1 8
)
∼
∼ ( 0 0 1 0 0 1 0 1 0 | 4
8
1
)
{
x3 x2 x1 =4
=8
=1
3)
A= (
−3 1 3
−4 5
1
−2 1
6
) ;
B= ( −16 21
41
) ;
X =( x x x 3
1
2
)
X = A−1 B
Найдем дополнительные миноры и алгебраическиематрицы
M 11=
| −4 5
−2
6
|
=(−4)·6−5 ·(−2)=−24+10=−14 ; A11 =−14
M 12=
| −3 1 −2
6
|
=1 ·6−(−3) ·(−2)=6−6=0 ; A 12 =0
M 13=
| −3 1 −4
5
|
=1 ·5−(−3)·(−4)=5−12=−7 ; A13 =−7
M 21=
| 5 1 6
1
|
=1 ·6−5 ·1=6−5=1 ; A 21 =−1
M 22=
| −3 3 1
6
|
=3· 6−(−3) ·1=18+3=21 ; A22 =21
M 23=
| −3 3 5
1
|
=3· 5−(−3) ·1=15+ 3=18 ; A23 =−18
M 31=
| −3 3 1
5
|
=1·(−2)−(−4)·1=−2+4=2 ; A31=2
M 32=
| −3 3 5
1
|
=3·(−2)−1·1=−6−1=−7 ; A32 =7
M 33=
| −3 3 5
1
|
=3·(−4)−1 ·1=−12−1=−13 ; A 33=−13
дополнения
Выпишем союзную матрицу:
A*
= (
−14 −7 0
−18 −1
21
−13
7
2
)
Найдем обратную матрицу:
−1
A *
A =
Δ
Δ=−49
A−1
=
−49
1
(
−14 −7 0
−18 −1
21
−13
)
7
2
Найдем решение:
X = A−1
B=−
49
1
(
−14 −7 0
=−
49 1 ( −196
−392
−49
) =
( 8
4
1
)
Ответ:{
x x x 1=4
3 2=1
=8
−18 −1
21
−13
2
7
) ⋅
( −16
41
21
) =−
49
1
(
−147+ −294+ 0−336+ 288−533
16+ 287
82
)
=
2. Найти общее решение системы линейных уравнений
{
3 2 x1 x x − 1−2 1− x 2 x + x 2−3 4 2+ x x 3 x3− 3+ + 3 2 x4 x x 4 4=1
=0
=1
Решение:
Запишем
расширенную
матрицу
системы
и
с
помощью
элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
(
−2 3 1 −2 −1 −1 −3 4
1
−1 2 3 | 1
0
1
) ∼
(
0 0 1 −1
1 1 −11 −11 4
−7 −7 3 | 1 1
0
) ∼
(
1 0 −1
1 −11 4
−7 3 | 1
0
)
По последней матрице перепишем систему:
{
x 1− x 2 x −11 2 + 4 x x 3+ 3 −7 3 x x 4=0 4 =1
⇒ {
x 1− x x 2=1+ 2 + 4 x 11 3+ x 3 3 x +7 4=0 x 4
⇒ {
x x 2=1+ 1=1+ 11 7 x3−4 x 3 + 7 x x 4
4
Общее решение системы:
x=( x x x x 1
2 3
4
) =(
1+ 1+ 11 7 x x x x3 3−4 3
4
+ 7 x x 4
4) =
( 0
1
0
1 ) + x3
( 11 0
1
7
) + x
4
( −4
7
1
0
)
3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором базисе матрицей(
−3 −3 2 −2 0 0 2
1
1
)
Решение: Составляем характеристическое уравнение матрицынаходим его корни.
|
2− −3 −3
λ −2
−λ
0 2−λ
1 1
|
=0
(2− λ) (−λ )( 2− λ )+(−2)⋅1⋅(−3)+0−1(−λ) (−3)−(−2)(−3)(2− λ)−0=0
−λ ( 2− λ) (2− λ )+ 6−3 λ +6 λ−12=0
−λ ( 2− λ)( 2− λ )−3(2−λ )=0
(2− λ) (−λ ( 2− λ)−3)=0
2(2− λ) (λ −2 λ−3)=0
и
Разложим на множителиD=4+ 12=16
2−4
λ 1 =
=−1
2
2+ 4
λ 2 =
=3
2
квадратный трехчлен λ 2 −2 λ−3
(2− λ) (λ + 1) (λ −3)=0
λ 1 =−1 ; λ 2=2 ; λ 3=3.
Найдем собственные векторы
При λ=−1система ( A−λ E ) x=0имеет вид:
{
3 −3 −3 x 1−2 x x 1+ 1 + x x 3 2+ 2+ xx x 3=0
3=0
3=0
Запишем
расширенную
матрицу
системы
и
с
помощью
элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
(
−3 −3 3 −2 0 1 1 1 3 | 0
0
0 ) ∼(
−3 −1 −3 0 1 0 3 1 1| 0 0
0
) ∼
(
−1 0 0 1 −2 1 | 0
0
)
{
−x x 2 1+ −2 x 3=0 x 3=0
⇒
{
x1 x 2=2 = x 3
x 3
Собственному значению λ=−1 соответствует собственный вектор
u1 = ( x x x 3
1
2 ) = ( 2 x x x 3
3
3) = x 3( 1
2
1
)
При λ=2система ( A−λ E ) x=0имеет вид:
{
−3 −2 x1 −3 −2 x 2+ x x2 1=0
x 3=0
+ x3=0
Запишем
расширенную
матрицу
системы
и
с
помощью
элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
(
−3 −3 0 −2 −2 0 1 1 0 | 0 0
0
) ∼(
−1 −3 0 −2 −2 0 1 1 0| 0
0 0
) ∼
(
−1 0 −2 0 1 0|0
0
)
{
−2 −x x 1=0
2 + x 3 =0
⇒
{
x1=0
x 2= 1
2
x 3
Собственному значению λ=2 соответствует собственный вектор
u2 = ( x x x 2 1
3
) =
(
2
1
x 0
x 3
3 ) = x3
( 1
0
2
1
)
При λ=3система ( A−λ E ) x=0имеет вид:
{
−3 −x −3 x1 1−2 −3 x 1x −x x2 2+ + 3 x =0
x3=0
3=0
Запишем
расширенную
матрицу
системы
и
с
помощью
элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
(
−1 −3 −3 −3 −2 0 −1 1 1 | 0
0
0
) ∼
(
−1 0
0
−2 3 3 −2 −2 1 | 0
0
0 ) ∼
(
−1 0
−2 3 −2 1 |0
0
)
{
−x1 3 −2 x2 −2 x2 + x3 x 3=0 =0
⇒
{
− x1−2 x 2= x 2
3
2x +3
x3 =0
⇒
{
x1 =
x 2= −1
3 3
2
x
x 3
3
Собственному значению λ=3 соответствует собственный вектор
u1 = ( x x x 3
2 1
) =
(
−
3
2
1
3
x x 3
x3
3
) =
x
3
( −
2
1
3
3
1
)
4. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому
виду уравнение линни второго порядка и построить ее в декартовой
системе координат.
−x 2
− y 2
+ 2 xy + 2 x−2 y + 1=0
В уравнении присутствует квадратичная форма −x 2
− y 2
+ 2 xy .
Составим матрицу данной квадратичной формы и найдем ее собственные
значения и векторы.
A=
( −1 1 −1 1 )
Составляем характеристическое уравнение
|
−1−λ
1
−1−λ
1
|
=0
(−1−λ )(−1−λ )−1=0
1+ 2 λ +λ 2−1=0
λ ( 2+ λ)=0
λ =0 или λ=−2
Если λ=0
(
−1 1 −1 1 | 0
0
) ∼
(
−1 01 0|0
0
)
−a1 + a 2=0
a1 =a2
h1 =
( a2
a1
) = ( 1
1
)
Если λ=−2
( 1 1 1 1 |0
0
) ∼
( 1 01 0| 0
0
)
a1 + a2 =0
a1 =−a2
h2 =
( a2
a1
) = ( −1
1
)
Пронормируем собственные векторы:
|h 1 | = | h2 |= √ 2
e 1 =
(
√ 1 2 ;
√ 1
2
)
e 2= (
−
√ 1
2 ;
√ 1
2
)
Матрица перехода к новому базису
B=
( −
√ 1
√ 2
1
2
√ √ 1
1
2
2
)
В
соответствии
с
соотношением
[ y
x ] = B⋅ [ y'
x '
]
вводим
замену
переменных x=
(
√ 1
2
x '+
√ 1
2
y ' )
; y =−
√ 1
2
x '+
√ 1
2
y'
Подставим выражения в исходное уравнение кривой:
−
(
√ 1
2
x '+
√ 1
2
y') 2
−(
−
√ 1
2
x '+
√ 1
2
y ' ) 2
+2
(
√ 1
2
x '+
√ 1
2
y' )(
−
√ 1
2
x '+
√ 1
2
y')
+
+ 2
( √
1
2
x '+
√ 1
2
y ' ) −2 (
−
√ 1
2
x '+
√
1
2
y ')
+ 1=0
−
x2
2
− xy − y 2
2
−
(
y 2
2
− xy +
x 2
2
)
+ x 2 − y 2 +
2 √ 2 x +
2 √ 2 y −
2 √ 2 y +
2 √ 2
x
+ 1=0
2 2 2 4 x
−x − y + x − y 2+
+ 1=0
√ 2
2 4 x
2 y =
+1
√ 2
2 1
y = x √ 2+
2
y 2 = √ 2 (
x+
2 1
√ 2
)
Уравнение представляет собой уравнение параболы.
Парабола получена путем параллельного переноса вершины в точку
1
2
(−
;0). Таким образом каноническое уравнение y = √ 2 x
2 √ 2
Построим график
Категория: Высшая математика | Добавил: Ark
Просмотров: 936 | Загрузок: 16
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]