bsuir.info
БГУИР: Дистанционное и заочное обучение
(файловый архив)
Вход (быстрый)
Регистрация
Категории каталога
Другое [213]
Форма входа
Логин:
Пароль:
Поиск
Статистика

Онлайн всего: 3
Гостей: 3
Пользователей: 0
Файловый архив
Файлы » ИТиУвТС » Другое

ИТиУвТС (з.), ТПИ, Контрольная работа, 2017
Подробности о скачивании 28.08.2017, 11:46
№1
Вероятности совместного появления P(x_i,y_j) объединения двух ансамблей заданы в таблице 1. Определить точные и средние количества неопределенности в совместном наступлении событий x_i и y_j, а также точные и средние количества неопределенности в y_j при известном исходе x_i.

P(x_i,y_j)
y_j x_i x_1 x_2 x_3
y_1 0,10 0,13 0,09
y_2 0,09 0,03 0,02
y_3 0,28 0,19 0,07

Решение

1. Точные количества неопределенности в совместном наступлении событий x_i и y_j находим из формулы:

H(x_i,y_j )=-log P(x_i,y_j ).

Подставляя в данное выражение P(x_i,y_j ) из таблицы 1, получим точные количества H(x_i,y_j ), которые занесены в таблицу 2:

H(x_i,y_j )
y_j x_i x_1 x_2 x_3
y_1 3,32 2,94 3,47
y_2 3,47 5,06 5,64
y_3 1,84 2,40 3,84

2. Среднее количество неопределенности в любом совместном наступлении событий x_i,y_j равно:

H(X,Y)=-∑_(i=1)^3▒∑_(j=1)^3▒〖H(x_i,y_j)〗•logP(x_i,y_j )=2,84 бит.

3. Найдем точные значения неопределенностей в наступлении события y_j при известном исходе некоторого события x_i. Для этого необходимо знать условные вероятности P(y_j/x_i ), а затем воспользоваться формулой:

H(y_j/x_i )=-log P(y_j/x_i ).

Найдем сначала безусловные вероятности P(x_i ) и P(y_j ) по формулам полной вероятности:

P(x_1 )=∑_(j=1)^n▒P(x_1,y_j ) =P(x_1,y_1 )+P(x_1,y_2 )+P(x_1,y_3 )=0,47;

P(x_2 )=∑_(j=1)^n▒〖P(x_2,y_j)〗=P(x_2,y_1 )+P(x_2,y_2 )+P(x_2,y_3 )=0,35;

P(x_3 )=∑_(j=1)^n▒〖P(x_3,y_j)〗=P(x_3,y_1 )+P(x_3,y_2 )+P(x_3,y_3 )=0,18.

P(y_1 )=∑_(i=1)^n▒〖P(x_i,y_1)〗=P(x_1,y_1 )+P(x_2,y_1 )+P(x_3,y_1 )=0,32;

P(y_2 )=∑_(i=1)^n▒〖p(x_i,y_2)〗=P(x_1,y_2 )+P(x_2,y_2 )+P(x_3,y_2 )=0,14.

P(y_3 )=∑_(i=1)^n▒〖p(x_i,y_3)〗=P(x_1,y_3 )+P(x_2,y_3 )+P(x_3,y_3 )=0,54.

По формуле умножения вероятностей вычислим условные вероятности и занесем в таблицу 3:

P(y_j/x_i )=P(x_i,y_j )/P(x_i ) .

P(y_j/x_i )
y_j x_i x_1 x_2 x_3
y_1 0,21 0,37 0,50
y_2 0,19 0,09 0,11
y_3 0,60 0,54 0,39

4. Результаты расчета H(y_j/x_i ) представлены в таблице 4.

H(y_j/x_i )
y_j x_i x_1 x_2 x_3
y_1 2,23 1,43 1,00
y_2 2,38 3,54 3,17
y_3 0,75 0,88 1,36

5. Найдем частные условные энтропии путем усреднения точных условных энтропий:

H(Y/x_i )=∑_(j=3)^3▒〖P(y_j/x_i )•〗 H(y_j/x_i ).

Результаты расчета следующие:

H(Y/x_1 )=1,38,
H(Y/x_2 )=1,31,
H(Y/x_3 )=1,38.

6. Эти результаты образуют случайную величину, значения которой наступают с вероятностью P(x_i ). Поэтому только среднее H(Y/x_i ), усредненное с весом P(x_i ), не случайно, а именно:

H(Y/X)=∑_(i=1)^3▒〖H(Y/x_i )•P(x_i ) 〗=1,36 бит.

7. Если испытания будут независимы то энтропия объединения будет:

H^* (X,Y)=H(X)+H(Y)=-∑_(i=1)^3▒〖P(x_i )•log P(x_i )-∑_(i=1)^3▒〖P(y_j )•log P(y_j ) 〗〗=2,78 бит.

№9
Источник сообщений вырабатывает символы a и b. Условные вероятности имеют следующие значения: P(a/b) = 0,12; P(b/b) = 0,88; P(b/a) = 0,73; P(a/a) = 0,27. Определить энтропию источника.

Решение

1. Рассчитаем вероятность совместного события P(a,b), равную делителю матрицы, состоящей из условных вероятностей:

P(a,b)=|■(P(a,a)&P(a,b)@P(b,a)&P(b,b) )|=|■(0,27&0,12@0,73&0,88)|=0,27•0,88-0,73•0,12=0,15.

2. Рассчитаем энтропию источника:

H(a,b)=-P(a,b)•〖log〗_2 P(a,b)=-0,15•〖log〗_2 0,15=0,41 бит.

№14
Вычислить относительную энтропию случайной величины X, распределенной по гауссовскому закону. Принять σx равным 23.

Решение

1. Гауссовское распределение:

Рисунок 1 – Распределение Гаусса

p(X)=1/(√2π•σ_X )•e^(〖-(X-m_X)〗^2/(2〖σ_X〗^2 ))

2. Пусть m_X=0. Тогда относительная энтропия будет равна:

H_ε (X)=-∫_(-∞)^(+∞)▒〖p(X)[log 1/(√2π•σ_X )-X^2/(2〖σ_X〗^2 )〗 loge]dX=-log(√2π•σ_X )^(-1)•∫_(-∞)^(+∞)▒〖p(X)dX+loge/(2〖σ_X〗^2 )〗•∫_(-∞)^(+∞)▒〖p(X) X^2 dX〗=logσ_X•⁡√2π+1/2 log⁡e=2,05+logσ_X

3. При σ_X=23 относительная энтропия будет равна: H_ε (X)=6,57.

№26
Зашифровать фамилию и отчество студента, выполняющего контрольное задание, с автоключом при использовании криптограммы. В качестве первичного ключа использовать свое имя.

Решение

1. Произведем шифрование текста ТАРЛЕЦКИЙ_ОЛЕГОВИЧ с автоключом РОДИОН по следующей формуле:

Y_i=X_i+k_i (mod N);

где Y_i- i-й символ алфавита;
X_i- i-й символ открытого текста;
k_i- i-я буква ключа;
N- длина используемого алфавита.

2. Процесс шифрования представим в таблице 1.

Таблица 1.
Открытый текст Ключ Преобразование Шифр
1. Т Р Y_1=20+17(mod 33)=4 Г
2. А О Y_2=1+16(mod 33)=17 П
3. Р Д Y_3=18+5(mod 33)=23 Х
4. Л И Y_4=13+09(mod 33)=22 Ф
5. Е О Y_5=6+16(mod 33)=22 Ф
6. Ц Н Y_6=24+15(mod 33)=6 Е
7. К В Y_7=12+3(mod 33)=15 Н
8. И П Y_8=10+17(mod 33)=27 Щ
9. Й Х Y_9=11+23(mod 33)=1 А
10. - Ф Y_10=33+22(mod 33)=22 Ф
11. О Ф Y_11=16+22(mod 33)=5 Д
12. Л Г Y_12=13+4(mod 33)=17 П
13. Е Н Y_13=6+15(mod 33)=21 У
14. Г Ш Y_14=4+26(mod 33)=30 Ь
15. О Я Y_15=16+33(mod 33)=16 О
16. В Ф Y_16=3+22(mod 33)=25 Ч
17. И В Y_17=10+3(mod 33)=13 Л
18. Ч Щ Y_18=25+27(mod 33)=19 С

Ответ: ГПХФФЕНЩАФДПУЬОЧЛС.

№40
По бинарному каналу передаются два сообщения. В качестве сообщений принять числа 123 и 132, представленные в двоичном эквиваленте (оба двоичных сообщения дополнить до 10-разрядных): 1111011000 и 1000010000. Длительность каждого элемента сообщения τ = 10 мс. Определить скорость передачи каждого сообщения и пропускную способность двоичного канала.

Решение

Рассчитаем вероятности появления нулей и единиц двух сообщений:

P_10=4/10=0,4
P_11=6/10=0,6
P_20=8/10=0,8
P_21=2/10=0,2

2. Рассчитаем скорость передачи двух сигналов:

R_1t=R_2t=1/τ•(-P_10•log⁡〖P_10 〗-P_11•log⁡〖P_11 〗 )=1/〖10〗^(-2) •(-0,4•log⁡0,4-0,6•log⁡0,6 )=97 бит/с

3. Рассчитаем пропускную способность канала:

C=1/τ•logM=1/〖10〗^(-2) •1=100 бит/с

где M=2 – общее число состояний системы (два).

№43
Для передачи по каналу связи без шумов используется код, состоящий из двух букв a1 и a2, появляющихся с вероятностями P(a1) = 0,06 и P(a2) = 0,94 соответственно. Применить метод Шеннона-Фано к кодированию всевозможных однобуквенных, двухбуквенных и трехбуквенных сообщений. Определить среднюю длину в каждом случае и результаты сравнить между собой.

Решение

1. Определим энтропию сообщений:

H(X)=-(p(a_1 )•logp(a_1 )+p(a_2 )•logp(a_2 ))=-(0,06•logp(0,06)+0,94•logp(0,94))=0,327 (43.1)

2. Применим метод Шеннона-Фано к кодированию всевозможных однобуквенных комбинаций:
Сообщение Вероятность Код
a_1 0,06 0
a_2 0,94 1

Средняя длина кодового слова равна:

L(1)=0,06•0+0,94•1=0,94 (43.2)

L(1) на 61,3% больше значения H(X)=0,529.
3. Применим метод Шеннона-Фано к кодированию всевозможных двухбуквенных комбинаций:

Сообщение Вероятность Код
a_2 a_2 0,8836 1
a_1 a_2 0,0564 01
a_2 a_1 0,0564 001
a_1 a_1 0,0036 000

Средняя длина кодового слова равна:

L(2)=1•0,8836+2•0,0564=0,986 (43.3)

L(2)/2=0,498 на 17,1% меньше значения H(X)=0,327.
4. Применим метод Шеннона-Фано к кодированию всевозможных трехбуквенных комбинаций:

Сообщение Вероятность Код Сообщение Вероятность Код
a_1 a_1 a_1 0,000216 00000 a_2 a_1 a_2 0,053016 001
a_1 a_1 a_2 0,03384 00001 a_2 a_2 a_1 0,053016 010
a_1 a_2 a_1 0,03384 00010 a_1 a_2 a_2 0,053016 011
a_2 a_1 a_1 0,03384 00011 a_2 a_2 a_2 0,830584 1

Средняя длина кодового слова равна:

L(3)=4•0,03384+4•0,053016+1•0,830584=1,178 (43.4)

L(3)/3=0,393 на 6,6% меньше значения H(X)=0,327.

Ответ: кодирование блоками более выгодно, чем кодирование отдельных букв.

№46
Закодировать в рекуррентном коде последовательность информационных символов с шагом сложения b = 3. Процесс образования контрольных символов пояснить с помощью функциональной электрической схемы. В качестве последовательности принять число 123, представленное в двоичном коде, с повторением дважды: 11111011111101. Привести описание работы кодера.

Решение

1. Кодирование произведем с помощью кодера, структурная схема которого представлена на рисунке 2.


Рисунок 1 - кодер

Из схемы следует, что контрольные символы формируются с задержкой на b тактов. По этому перед информационной последовательностью, подлежащей кодированию, необходимо приписать 2b нулей, т.е. шесть. Контрольные символы образуют путем сложения по модулю два информационных символов расположенных на расстоянии b друг от друга. Процесс образования:
Информационные символы: 11111011111101000000.
Контрольные символы: 00100100010101000.
В данном коде, как следует из кодера, после каждого информационного символа следует проверочный символ. Перед этим нули в начале информационного кода и оставшиеся лишние символы в конце проверочного кода откидываются.
Таким образом, на выходе получим последовательность символов 1010111010011010101110110011000000.

№49
Привести функциональную схему кодирующего устройства систематического сверточного кода для порождающего полинома P(x) = x4 + x2 + x + 1.
Закодировать с помощью данного устройства кодовую комбинацию G(x), соответствующую числу 23 (10111), записанному в двоичном коде. Записать импульсную переходную характеристику кодера.

Решение

Основой для построения функциональной схемы кодирующего устройства для формирования сверточного кода является:
1. заданное число разрядов регистра сдвига, k=5;

2.

3. скорость формирования сверочного кода,

,

где - число символов сообщения, которые поступают на вход кодирующего устройства для формирования определенного отрезка кодовой комбинации .
Число разрядов регистра либо задано, либо его определяют по старшей степени в системе образующих полиномов, степень X (в данном случае 4+1=5=k) будет образовать число разрядов. Сумматоров по mod2 ставится столько, сколько образующих полиномов в нашей системе. Связи сумматоров с триггерами регистра сдвига определяются соответствующими коэффициентами многочленов.

Рисунок 3 Структурная схема кодирующего устройства

Систематическим сверточным кодом является такой код, для которого в выходной последовательности кодовых символов содержится без изменения породившая ее последовательность информационных символов. 1010110

Входной бит Содержание регистра сдвига (10111) Выходная комбинация
1 10000 11
0 00000 00
1 10100 10
1 10010 10
1 10101 11

Комбинация на выходе: 11 00 10 10 11.
ИПХ кодера будет иметь вид: H=11.00.10.10.11

Литература
1. Дмитриев, В.И. Прикладная теория информации / В.И. Дмитриев. – М. : Высшая школа, 1989. – 320 с.
2. Темников, Ф.Е. Теоретические основы информационной техники / Ф.Е. Темников и др. – М. : Энергия, 1979.-512 с.
3. Сорока, Н.И. Теория передачи информации: конспект лекций / Н.И. Сорока, Г.А. Кривинченко. – Минск : БГУИР, 1998. – 88 с.
4. Кларк-мл., Кейн Дж. Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи. 1987
Категория: Другое | Добавил: barrysimon
Просмотров: 68 | Загрузок: 4
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]