I ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ САУ.........................2 II ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ САУ......................11 III ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ...........................................................17 ЛИТЕРАТУРА................................................................................................20
I ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ САУ
Исходные данные: Структура исследуемой замкнутой линейной непрерывной САУ представлена на рис. 1.1, где v(t)- управляющее воздействие, f(t)-возмущающее воздействие, e(t)- сигнал ошибки, y(t)- выходной сигнал. Значения параметров Т1, Т2, Т3 заданы в табл. 1. Размерность Т1 , Т2 , Т3 в секундах, общий коэффициент передачи К = К1К2К3 имеет размерность 1/с, в табл. 1 заданы также желаемые показатели качества системы: максимальная ошибка по скорости есек при скачке по скорости v(t) = vxt и f = 0, время переходного процесса fп.п. в секундах, и перерегулирование у в процентах. Исходные данные приведены в табл. 1 Таблица 1 Номер варианта v(t) e ck tnn y, % Т1 х10-1 Т2 х10-1 Т3 16 1,5 0,02 2,5 15 0,45 0,5 1,8
Рис. 1.1
1. Требуемые передаточные функции находят с использованием правил структурных преобразований. Коротко сформулируем основные правила. Передаточные функции последовательно соединенных звеньев перемножаются. Передаточные функции параллельно соединенных звеньев складываются. Передаточная функция системы с обратной связью - это передаточная функция замкнутой системы, которая определяется по формуле:
Ф(s)=W(s)/(1+W(s) W_(oc ) (s) )
Например, для системы, представленной на рис. 1.2 можно записать следующие передаточные функции Woc(s) = 1 :
Передаточная функция разомкнутой системы W(s) = Y(s)/U(s) при f = 0, e = u (т.е. разомкнута главная обратная связь) определится выражением: W(s)= W_1 (s) W_2 (s) W_3 (s)=(K_1 K_2 K_3)/s(T_1 s+1)(T_2 s+1)(T_3 s+1) ==K/(s(a_0 s^3+a_1 s^2+a_2 s+a_3))
где обозначено К = К1К2К3 а0=Т1Т2Т3= 0.004, а1 = Т1Т2 + Т2Т3 +Т1Т3 =0.1733, а2=Т1+Т2+Т3= 1.895, а3=1. Главная передаточная функция или передаточная функция замкнутой системы при f = 0:
Ф(s)= (Y(s))/(U(s))=(W_1 (s) W_2 (s) W_3 (s))/(1+W_1 (s) W_2 (s) W_3 (s) )=K/(s(a_0 s^3+a_1 s^2+a_2 s+a_3 )+K)
Передаточная функция по ошибке при f = 0, которая позволяет выразить ошибку e(t) в системе при известном входном воздействии: 〖 Ф〗_e (s)= (E(s))/(U(s))=1/(1+W_1 (s) W_2 (s) W_3 (s) )=s(a_0 s^3+a_1 s^2+a_2 s+a_3 )/(s(a_0 s^3+a_1 s^2+a_2 s+a_3 )+K) Передаточная функция по возмущению при и = 0 позволяет выразить влияние возмущения на выходной сигнал:
〖 Ф〗_f (s)= (Y(s))/(F(s))=-(W_3 (s))/(1+W_1 (s) W_2 (s) W_3 (s) )==-(K_3 (T_1 s+1)(T_2 s+1))/(s(a_0 s^3+a_1 s^2+a_2 s+a_3 )+K)
2. Передаточная функция разомкнутой исходной системы имеет вид W(s) = K/sL(s), где L(s) = (T1s+1)(T2s+1)(T3s+1). Характеристическое уравнение замкнутой системы будет D(s) = K+L(s) s = b0s4 +b}s3 +b2s2 +b3s + b4 =0, где при заданных из таблицы исходных данных числовых значениях Т1 и Т3 коэффициенты bi- будут зависеть от параметров К и Т2. Применение критерия Гурвица к характеристическому уравнению четвертого порядка дает следующие условия устойчивости: Приравнивая в написанных соотношениях правые части нулю, найдем зависимость К от Т2 и построим в плоскости К и Т2 границы устойчивости, ограничивающие некоторую область устойчивости. При заданном параметре Т2 находим граничное значение КГР коэффициента передачи К. D(s) = К + L(s) s = s(a0s3 + a1s2+ a2s + а3) + К = b0s4 + b1s3 + b2s2 + b3s + b4 где обозначено К. = K1K2K3, b0 = T1T2T3 = 0.081T2 = с0Т2, b1 = T1T2 + Т2Т3 + Т1Т3 =1.845Т2 + 0.081 = с1Т2 + с0, b2 =Т1 +Т2 +Т3 =1.845+ Т2 = с1 +Т2, b3=1, b4=К.
При заданном параметре T2 находим граничное значение Кгр коэффициента передачи К.
Кгр=К(Т2=0.05)=10.78.
3. Полагая К = 0.7КГР, записываем аналитическое выражение для ф(ω) = axgW(j ω), L(ω) = 20lg|W(j ω)| из W(s) при s = j ω. К=0.7∙Кгр=7.55 Передаточную функцию разомкнутой системы можно записать в виде
W(s)= W_1 (s) W_2 (s) W_3 (s)=(K_1 K_2 K_3)/s(T_1 s+1)(T_2 s+1)(T_3 s+1) =K/(s(a_0 s^3+a_1 s^2+a_2 s+a_3))= =Re(W(s) )+jIm(W(s))
Тогда строим графики логарифмических характеристик разомкнутой системы, с помощью MATLAB (оператор bode или margin) Рис. 1.4 а.
Предварительно с помощью функции paz=tf([K],[a0 al a2 аЗ 0]) найдем:
Рис. 1.4
Запасы устойчивости по модулю и фазе определяются по логарифмическим характеристикам (см. рис. 1.4): на частоте среза ωс определяется запас по фазе — Δ φ, а запас по амплитуде ΔL - на частоте при которой φ (ω) = -р. Таким образом, ΔL ≈ 3.11 дБ, Δ φ ≈4,65°, что является недостаточным. Величина ошибки по скорости определяется как eск=V1 /K = 1.5/7.55=0.2> eск зад=0.02. Для ориентировочной оценки tnn и σ следует построить переходной процесс h(t) (оператор step в MATLAB) при v(t)=1[t] и по нему определить tnn и σ. Эти величины определяются следующим образом:
Время переходного процесса определяется с учетом следующих соотношений: εуст=v(t)/(l+K), где v(t) = l[t], а К=7.55 - общий коэффициент передачи разомкнутой системы. Тогда εуст=1/(1+7.55)=0.12 и tnn из графика tn.n.≈140 c > tnn зад=2.5c.
Рис. 1.5
Таким образом, исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать. 5. Если исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать. В случае применения частотных методов синтеза коррекции строится желаемая ЛAЧX Lж(ω). В низкочастотной части желаемой ЛАЧХ при сохранении порядка астатизма (наличие интегратора 1/s в системе). Требуемый коэффициент усиления выбирается из соотношения Kυ≥v1/eск = 1.5/0.02= 75. На частоте среза желательно иметь наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек с протяженностью этого участка не менее одной декады. Далее среднечастотная часть ЛАЧХ сопрягается с низкочастотной отрезком прямой с наклоном -40(если необходимо -60) дБ/дек, а высокочастотная часть желаемой исходной ЛАЧХ по возможности должны совпадать. Учет требований качества переходного процесса: tnn и σ, запасов устойчивости учитываются при формировании среднечастотной области Lж(ω). Здесь можно воспользоваться графиком (рис. 1.6).
Рис. 1.6
По графику рис. 1.6 для заданных значений σ и tnn находят ωn, и затем из соотношения ωc = (0.6 ÷ 0.9) ωn частоту среза ωc. В нашем случае: (как показано на рис.1.6,а) для σ =15%, tp ≈3π/ω_n , откуда для tp=2,5с , значение ωn=3π/2.5≈3,77 1⁄c и ωc =0,6*3,77=2.26 1⁄c. Сопряжение среднечастотного участка с низкочастотным и высокочастотным (рис. 1.7) должно быть таким, чтобы была проще коррекция и чтобы изломы, по возможности, были не более чем на 20 дБ⁄дек (протяженность участка около декады). Тогда, выберем L2=28 дб на частоте ω2=0,134<ωс=1,884 и L3=-28 дб на частоте ω3=2,97 > ωс=1,884. А ω1=0,079. Корректирующему звену соответствует функция :
Где, T_1^k=1/w_1 T_2^k=1/w_2 T_3^k=1/(w_3^ ) T_4^k=1/w_4 Общая передаточная функция разомкнутой системы с корректирующим звеном последовательного типа имеет вид: где Kd=(KT_2^K T_3^K)/(T_1 T_2 T_3 T_1^K T_4^K ) Диаграммы Боде представлены на рис. 1.8. На диаграмме также обозначены запасы устойчивости, которые являются приемлемыми.
Рис.1.8 Для нахождения переходных характеристик замкнутой системы с корректирующим звеном предварительно сформируем модель в пространстве состояний. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
Для нахождения Ф(s) воспользуемся следующей последовательностью команд sysl=zpk([-l/T2k -1/T3k],[0 -1/Т1 -1/T2 -1/T3 -1/T1k -l/T4k],Kd) Zam_ck=inv(l+sysl)*sysl - находится передаточная функция замкнутой системы. (Не оптимальная форма т.к. при такой последовательности команд не производится упрощение за счет сокращения одинаковых элементов числителя и знаменателя. В тоже время на результат дальнейшего расчета это не влияет). Переходная характеристика (рис. 1.9 ) находится с помощью функций: sys3=ss(Zam_ck); step(sys3). Из рассмотрения рис. 1.9 видно, что параметры по заданию выполняются.
Рис. 1.9
II ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ САУ
Исходные данные: Таблица 2 Номер варианта γ Т T1 τ1 16 0,7 0,5 0,5 0
Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, составляющая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью τ=γТ, где Т -период дискретизации, 0≤γ≤1. Исходные данные для расчетов приведены в табл. 2. Для всех вариантов заданий передаточная функция непрерывной части имеет вид W_0 (s)=(K_0 (τ_1 s+1))/(s(T_1 s+1)) Импульсный элемент представляется в виде идеального W_фу (s)=(1-e^(-γTs))/s Структурная схема системы представлена на рис. 2.1. В табл. 2 Т, Т1, τ1 -постоянные времени имеют размерность секунды, К0 - коэффициент передачи НЧ имеет размерность сек-1 и выбирается далее.
Рис 2.1 Структурная схема линейной импульсной системы
1. Для нахождения передаточной функции разомкнутой импульсной САУ W(z), представим в виде суммы двух слагаемых:
где , .
Таблица 2.1
Воспользуемся табл. 2.1, тогда:
, .
Таким образом: .
Теперь воспользуемся формулой: . Найдем:
.
По таблицам Z–преобразования [6] находим:
,
. Таким образом, имеем ,
откуда находим при и при и подставляем их в [5, (1.18)]. После преобразований приходим к выражению [5, (1.19)]. Как и следовало ожидать, оба способа дали одинаковую передаточную функцию, которую можно записать и так ,
где с_0=K/α(d(1-d^(-γ) )+αTγ), с_1=K/α(-d(1-d^(-γ)+αTγ)), K = K0(τ1s + 1), α= 1/T1., , , d=e^(-αT), a_0=1, а коэффициенты и определены выше. Передаточные функции замкнутой системы легко находятся по выражениям Ф^* (z)=(W^* (z))/(1+W^* (z) ), Ф_e^* (z)=1/(1+W^* (z) ). Ф^* (z)=(W^* (z))/(1+W^* (z) )=(c_0 z+c_1)/(z^2+A_1 z+A_2 ) где A_1=K/α (d(1-d^(-γ) )+αTγ)-1-d A_2=d-K/α d(1-d^(-γ)+αTγ)
2. Устойчивость системы определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы D^* (z)=1+W^* (z)=0, которое для нашего случая будет иметь вид: a0z2 +(a1+ c0)z +a2 +c1= z2+b1z + b2 =0. В соответствии c алгебраическим критерием [6, с. 432] замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств: 1+b_1+b_2>0, 1-b_1+b_2>0, 1-b_2>0. В неравенстве при известных значениях γ, Т, τ1, Т1 входит величина К0. Таким образом, можно выделить отрезок значений К0’’<К0 <К0’ при которых система будет устойчива и далее принять К0 = 0,5К'0. Условия устойчивости будут: d+K/α d(d^(-γ)-1+αTγ)<1 KTγ(1-d)>0 2(d+1)-2 K/α d(1-d^(-γ) )-KαTγ(d+1)>0
После преобразований и возврата к старым переменным получим: 〖K'〗_0<((1-d)α)/(d(d^(-γ)-1+αTγ)(τ_1+1))=25.45
〖K''〗_0>0,
〖K'〗_0<(2(1+d))/([2/α d(1-d^(-γ) )+αTγ(d+1) ](τ_1+1))=2 Вычислим эти значения. Получим 0<К0<2. Таким образом, принимаем К0=0.5K’0 =1.
3. Для построения частотных и логарифмических частотных характеристик в выражении W* (z) делаем замену переменной z=(1+s^* T/2)/(1-s^* T/2), s^*=jω^* В результате этого получим частотную характеристику Ww*(jω*) и далее логарифмическую амплитудно-частотную характеристику L*( ω*) = 20lg |W*(jω*)| и фазочастотную характеристику φ*(ω*)=argWw*(jω*), графики, которых строятся в логарифмическом масштабе. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид: W^* (z)=(c_0 z+c_1)/(z^2+a_1 z+a_2 ) тогда можно воспользоваться следующей последовательностью команд Получаем выражение:
W^* (z)=(f_0 s^2+f_1 s+f_2)/(g_0 s^2+g_1 s+g_2 )
где параметры g и f видны из вышеприведенного выражения.
Рис.2.2
4. Рассматриваемая система для всех вариантов является астатической с астатизмом первого порядка и имеет следующую передаточную функцию W^* (z)=(c_0 z+c_1)/(z^2+a_1 z+a_2 )=1/(1-z) W_1^* (z) где W_1^* = (c0z + c1)/(z-d). В силу астатизма первого порядка в такой системе статическая ошибка всегда равна нулю, а скоростная еск вычисляется по формуле eCK=1/W_1^* (1). Тогда: e_ск=1⁄(W_1^* (1)=((z-d))/(〖(c〗_0 z+c_1))=(1-d)/(c_0 〖+c〗_1 )=(1-0,37)/(0,16+0.54)) и следовательно, еск=0,9.
Вычислим коэффициенты ошибок. Величина С0 =0, а коэффициент ошибки С1, находится по следующей формуле
C_1=(Ф_e^* (z))/dz |_(z=1)
гдеФ_e^*(z) - передаточная функция системы по ошибке. Она ровна:
Transfer function: s^2 + 0.3439 s + 7.343 --------------------------- 1.119 s^2 - 1.624 s + 14.69 Посчитали производную
(2z+0.3439)/(1.119z^2-1.624z+14.69)-(2.238z-1.624)(z^2+0.3439z+7.343)/(1.119z^2-1.624z+14.69)^2 и подставив s=1, получили С1 =0.24.
5. При входном воздействии вида v(k) = l[k] переходный процесс в замкнутой системе можно вычислить с помощью моделирования импульсной системы в Matlab. Для этого необходимо задать передаточную функцию непрерывной части системы в tf- или zpk -форме, преобразовать ее в дискретную с помощью оператора c2d при заданном времени дискретизации Г, а затем построить переходной процесс системы оператором step. Так же можно построить и логарифмические частотные характеристики импульсной системы – bode. Если задана передаточная функция замкнутой системы в виде Ф(s)=(T_1 s^2+s)/(T_1 s^2+s+K_0 (τ_1+1)) и период дискретизации γT, то получим рис.2.4. На рис.2.5 представлена диаграмма Боде исследуемой дискретно системы, с отмеченными на ней запасами устойчивости по амплитуде и фазе.
Рис. 2.4
Рис.2.5
III ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Задание: Используя метод гармонической линеаризации нелинейного элемента, определить на основе частотного способа возможность возникновения автоколебаний в замкнутой системе, их устойчивость, амплитуду и частоту.
Исходные данные: Структура нелинейной САУ представлена на рис. 3.1, где НЭ— нелинейный элемент, W(s) - передаточная функция непрерывной линейной части системы.
Рис 3.1 1. Передаточная функция W0(s) берется из пункта 1, как передаточная функция скорректированной системы с соответствующими числовыми коэффициентами. Нелинейный элемент НЭ имеет нелинейную характеристику u=f(e) которая для всех заданий является характеристикой идеального реле: u=f(e)={■(c,при e>0@-c,при e<0 ,) где с=2. Приближенная передаточная функция нелинейного элемента для случая идеальное реле имеет вид: W_н (a)=q(a)=4c/pa , где a – амплитуда искомого периодического режима, а>0. 2. На комплексной плоскости строим характеристику: [-W_н^(-1) (a) ]=-pa/4c Это прямая, совпадающая с отрицательным отрезком действительной оси, вдоль которой идет оцифровка по амплитуде а0 = 0, a1, a2, …. В том же масштабе на комплексной плоскости строится АФЧХ разомкнутой системы W0(jw) при изменении частоты от 0 до + inf. Передаточная функция скорректированной системы: W(s)=W_1 (s) W_k (s) W_2 (s) W_3 (s)= =K(T_2^k s+1)(T_3^k s+1)/s(T_1 s+1)(T_2 s+1)(T_3 s+1)(T_1^k s+1)(T_4^k s+1) = =Kd ((s+1/(T_2^k ))(s+1/(T_3^k )))/(s(s+1/T_1 )(s+1/T_2 )(s+1/T_3 )(s+1/(T_1^k ))(s+1/(T_4^k )))=(R(s))/(Q(s)) На рис.3.2 (выделен интересующий фрагмент) пунктиром отмечена АФЧХ
Рис.3.2 Точка пересечения кривых (-0,121, 0j). В точке пересечения АФЧХ W0(jw) и прямой [-W_н^(-1) (a)] по графику W(jw) нашли частоту искомого периодического (гармонического) режима ω=ω*, а на прямой [-W_н^(-1) (a)] в точке пересечения его амплитуда а = а*. Тогда в системе существуют периодические колебания: y=-0,121sin〖(-4.25〗^* t)=0,121sin(4.25t)
Для определения устойчивости периодического режима можно воспользоваться следующим правилом: если при увеличении амплитуды а вдоль кривой [-W_н^(-1) (a)] пересечение АФЧХ W0(jw) происходит «изнутри наружу», то такой периодический режим будет устойчивым, т.е. в системе существуют автоколебания с частотой w* и амплитудой а* . Таким образом, периодический режим будет устойчивым.
ЛИТЕРАТУРА 1. Теория автоматического управления. Конспект лекций: В 2ч. Ч.1: Линейные непрерывные системы: учеб.-метод. пособие / В.П. Кузнецов, С.В Лукьянец, М.А. Крупская. - Мн.: БГУИР, 2007. - 132 с. 2. Кузнецов, В.П. Линейные непрерывные системы: Тексты лекций по курсу: Теория автоматического управления.-Мн.: БГУИР, 1995.-180 с. 3. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления. Ч.1: Линейные непрерывные системы./ В.П. Кузнецов, С.В. Лукьянец, М.А. Крупская - Мн.: БГУИР, 2006. 4. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления 4.2.: Дискретные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы /С. В. Лукьянец, А. Т. Доманов, В.П. Кузнецов, М. А. Крупская/ - Мн.: БГУИР, 2007. 5. Кузнецов, В.П. Линейные импульсные системы: Математическое описание: Тексты лекций по курсу „Теория автоматического управления". - Мн.: БГУИР, 1996.-70 с. 6. Бесекерский, В.А. Теория автоматического управления / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - СПб: Профессия, 2004. 6а. Кузин Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. -М.: ГНТИ Машиностроительной литературы. 1969. 7. Теория автоматического управления. Ч.1./ под ред. А.А. Воронова. — М.: Высш. шк., 1986. 8. Теория автоматического управления. Ч.2. / Под ред. А.А. Воронова. — М.: Высш. шк., 1986. 9. Теория автоматического управления: учеб. Пособие для вузов / А.С. Востриков, Г.А. Французова. - М.: Высш. шк., 2004. 10. Иванов, В.А., Ющенко, А.С. Теория дискретных систем автоматического управления. - М.: Физматгиз, 1983. 11. Медведев, В. С, Потемкин, В. Г. Control System Toolbox. Matlab 5 для студентов. -М.: Диалог-МИФИ, 1999. 12. Автоматизированный расчёт систем управления. Методическое пособие к лабораторным работам для студентов специальностей 53 01 03 «Автоматическое управление в технических системах» и 53 01 07 «Информационные технологии и управление в технических системах» всех форм обучения/М.А.Антипова, М.К.Хаджинов. - Мн.: БГУИР, 2003.-38с 13. Лазарев Ю. Ф., Matlab 5.X . -Киев.: Ирина, BHV, 2000. - 382с. 14. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами в системе MatLab. - СПб.: Наука, 2000. - 475с 15. Материалы сайта www.exponenta.ru
