bsuir.info
БГУИР: Дистанционное и заочное обучение
(файловый архив)
Вход (быстрый)
Регистрация
Категории каталога
Другое [37]
Белорусский язык [227]
ВОВ [88]
Высшая математика [434]
Идеология [105]
Иностранный язык [596]
История Беларуси [214]
Культурология [41]
Логика [253]
НГиИГ [108]
Основы права [7]
Основы психологии и педагогики [6]
Охрана труда [7]
Политология [148]
Социология [95]
Статистика [30]
ТВиМС [78]
Техническая механика [41]
ТЭЦ [78]
Физика [143]
Философия [146]
Химия [72]
Экология [35]
Экономика предприятия [32]
Экономическая теория [152]
Электротехника [35]
ЭПиУ [39]
Этика [5]
Форма входа
Логин:
Пароль:
Поиск
Статистика

Онлайн всего: 6
Гостей: 5
Пользователей: 1
PetrApefs
Файловый архив
Файлы » Общевузовские предметы » ТВиМС

ИТиУвТС (з.), ТВиМС, Контрольная работа, вар.20, 2016
Подробности о скачивании 28.08.2017, 11:53
Задание №1.20

Из колоды в 36 карт (6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т) наугад извлекаются три карты. Определить вероятность того, что будут вытащены карты одной масти.

Решение:

A - вытащены карты одной масти

Вероятность вытащить первую карту (событие cool будет равна 1, т.к. не имеет значения, какой она будет масти:

Вероятность вытащить 2 карту той же масти (событие C) вычисляется по классической формуле вероятности:

Вероятность вытащить 3 карту той же масти (событие D) вычисляется по классической формуле вероятности:

Тогда, вероятность вытащить 3 карты одной масти равна:


Задание №2.20

Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны p1=0,1; p2=0,2; p3=0,3; p4=0,4; p5=0,5 p6=0,6. Найти вероятность того, что сигнал пройдет с входа на выход.

Решение:


A1 - отказ 1 элемента
A2 - отказ 2 элемента
A3 - отказ 3 элемента
A4 - отказ 4 элемента
B - сигнал прошел с входа на выход
C - сигнал прошел по ветви 3-4
D - сигнал прошел по ветви 1-3-4

Вероятности отказа элементов:
p1=p(A1)=0.1
p2=p(A2)=0.2
p3=p(A3)=0.3
p4=p(A4)=0.4

Вероятности работы элементов:
q1=1-p1=1-0.1=0.9
q2=1-p2=1-0.2=0.8
q3=1-p3=1-0.3=0.7
q4=1-p4=1-0.4=0.6

Определим вероятности событий C и D, используя формулы:



Определим вероятность события B:



Задание №3.20

Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. В результате испытаний два блока вышли из строя. Определить вероятность того, что отказали второй и третий блоки.

Решение:

H1 - отказали первый и второй блоки
H2 - отказали первый и третий блоки
H3 - отказали второй и третий блоки
A - два блока вышли из строя

Определим вероятности гипотез Hi:



Определим вероятности событий A/Hi:



Определим вероятность события A, используя формулу Байеса:


Задание №4.20

A - изготовление продукции высшего сорта
p(A)=0.9
q(A)=1-p(A)=1-0.9=0.1
m0=340 - наивероятнейшее число изделий высшего сорта
Для определения того, сколько необходимо изготовить изделий высшего сорта, воспользуемся формулой:








Значит, необходимо изготовить 377 изделий.

Задание №5.20

Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

Решение:






Вычислим математическое ожидание нашей дискретной величины:

Теперь найдем дисперсию нашей дискретной величины:

Рассчитаем график функции распределения F(x):








Теперь построим график функции распределения F(x):


Задание №6.20

Начальные данные:
Случайная величина X задана плотностью вероятности:






Определим сначала константу "c". Для этого воспользуемся условием нормировки:

Поскольку наша функция существует не на всей области, а только в интервале [a,b], то условие нормировки в данном случае записывается так:

Подставим наши начальные данные и найдем константу "c":

Теперь найдем математическое ожидание:

Дисперсия нашей непрерывной величины X равна:

Теперь найдем функцию распределения величины X:
У нас имеется 3 интервала:
1)<-1
2)[-1,1]
3)>1
На первом интервале функция плотности вероятности не существует, поэтому она равна 0, значит и функция распределения на этом интервале тоже равна 0.
На втором интервале функция распределения изменяется по некоторому закону, увеличиваясь от 0 до 1.
На третьем интервале функция распределения не изменяется и остается равной 1.


Осталось найти вероятность попадания величины X в интервал [,]:


Задание №7.20

Начальные данные:



Построим график случайной величины Y=(x):

Поскольку величина X равномерно распределена на промежутке [a;b], то ее плотность вероятности равна:


Определим обратные функции Y=(y) на интервале [0;2.718):


Определим обратные функции Y=(y) на интервале [2.178;7.389]:

Плотность вероятности величины y равна:





Задание №8.20

Начальные данные:








Получаем следующую фигуру:

Поскольку двумерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки нашей области и равна константе "c", то найдем данную величину, используя условие нормировки:

Однако стоит учесть то, что это условие нормировки для всей области определения. В нашем случае функция ограничена, поэтому условие нормировки запишется так:

D
, где D - наша область

Найдем недостающий параметр "c":

Для того чтобы высчитать коэффициент корреляции между величинами X и Y, необходимо до этого высчитать их математические ожидания, затем дисперсии, а потом уже и сам коэффициент.
Высчитаем математические ожидания наших величин:


Теперь найдем дисперсии X и Y:


Определяем корреляционный момент:

Теперь найдем необходимый коэффициент корреляции:


Задание №9.20

Исходные данные:



Решение:
Математическое ожидание величины U:

Математическое ожидание величины V:

Дисперсия величины U:

Дисперсия величины V:

Математическое ожидание между величинами U и V:


Корреляционный момент между величинами U и V:

Коэффициент корреляции между величинами U и V:

Математическое ожидание величины x22:

Математическое ожидание величины x1.x2:

Математическое ожидание величины x1.x3:

Математическое ожидание величины x2.x3:


Одномерная выборка

Построим вариационный ряд:

Сделаем таблицу для построения графика эмпирической функции F*(x), которая определяется формулой:


k - количество одинаковых чисел в выборке,
m - номер числа в вариационном ряду

График эмпирической функции представлен в конце задания вместе с графиком гипотетической функции F0(x).

Определим количество непересекающихся и примыкающих друг к другу M интервалов:

где - количество чисел в выборке
Построим гистограмму равноинтервальным методом:

Определим длину интервала:



Построим гистограмму равновероятностным методом:



Вычислим точечные оценки числовых характеристик:
Состоятельная оценка математического ожидания:

Несмещенная состоятельная оценка дисперсии:

Несмещенная состоятельная оценка среднеквадратического отклонения:

Вычислим интервальные оценки математического ожидания и дисперсии с надежностью =0.95.
Доверительный интервал для математического ожидания:
Согласно центральной предельной теореме при достаточно большом n закон распределения можно считать нормальным, поэтому воспользуемся следующей формулой для случайной величины X с неизвестным законом распределения:

где z=arg(/2)=arg(0.475)=1.96 - значение аргумента функции Лапласа, тогда интервал равен:

Доверительный интервал для дисперсии:


Выдвинем двухальтернативную гипотезу о законе распределения случайной величины:




Определим оценки неизвестных параметров гипотетического закона распределения:


Проверим гипотезу с помощью критерия 2. Вычислим значения критерия 2 на основе равноинтервального статистического ряда. Теоретические вероятности попадания случайной величины вычислим по формуле:

Данные для расчета теоретических вероятностей представлены в таблице:

Определим значение критерия 2 по формуле:

Найдем значения критерия для каждого значения, а затем общий.

Тогда, значение критерия равно:

Определяем число степеней свободы:
k=M-1-s,
где s - число параметров, от которых зависит выбранный гипотезой H0 закон распределения,


При заданном уровне значимости =0.05 сравним полученное значение критерия 2 со значением 2,k из таблицы распределения 2, которое равно:

Поскольку 2<2,k, то гипотеза H0 принимается.

Проверим гипотезу с помощью критерия Колмогорова:


По графику определим максимальное отклонение между функциями F*(x) и F0(x):

Определяем значение критерия:

Из таблицы распределения Колмогорова выбираем критическое значение , где =1-=0.95
=1.36
Поскольку , то гипотеза H0 принимается.

Построим график гипотетической функции F0(x) совместно с графиком эмпирической функции распределения F*(x):


Двумерная выборка

- количество двумерных чисел

Вычислим точечную оценку коэффициента корреляции:

Оценки математических ожиданий:


Оценки дисперсий:


Состоятельная оценка корреляционного момента равна:

Состоятельная оценка коэффициента корреляции равна:

Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с надежностью =0.95 по формуле:

где,
z - значение аргумента функции Лапласа, т.е. Ф(z)=/2=0.95/2=0.475, которое в нашем случае равно 1.96. Тогда коэффициенты a и b равны:


Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции имеет вид:


Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости:

Определяем значение критерия:

Из таблицы функции Лапласа определяем критическое значение Z, которое равно 1.96.

Вычисляем оценки параметров а0 и а1 линии регрессии :


Построим диаграмму рассеивания и линию регрессии:
Категория: ТВиМС | Добавил: barrysimon
Просмотров: 63 | Загрузок: 5
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]